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Notación matemática
Notación matemática
La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.
Algunos principios básicos son:
Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva:
, etc.
Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda:
, etc.; en lugar de no debe escribirse , porque eso representaría el producto
en lugar del logaritmo neperiano.
Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (
), también se escriben con letra redonda:
.
Teoría de conjuntos
Teoría de conjuntos
raíz cuadrada de x.
Teoría de conjuntos y Álgebra.
Sean
un elemento y conjuntos
Notación
Se lee
x pertenece a A
A está contenido en B
A está contenido en B o es igual que B
A contiene a B
A contiene a B o es igual que B
Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo
es "x no pertenece a A";
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:
TeX
Unicode
ℂ
ℍ
ℕ
ℙ
ℚ
ℝ
𝕊
ℤ
Conjuntos numéricos especiales
Expresiones
Expresiones
Notación
Se lee
x es igual a y
x es menor que y
x es mayor que y
x es aproximadamente igual a y
cuantificador
cuantificador existencial con marca de unicidad
tal que
por lo tanto
!Notación
Se lee
para todo x
Existe por lo menos un x
Existe un único x
x, tal que y
x, por lo tanto y
o bien
Ejemplo:
Teorema de Weierstrass:
"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.
Se tiene que:
La función f está acotada.
La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."
Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:
"
".
Lógica proposicional, Álgebra de Boole
Lógica proposicional, Álgebra de Boole
Cálculo lógico y Conectiva lógica.
Operadores básicos
Operadores básicos
Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.
Sean
y dos proposiciones
Operación
Negación
Conjunción
Disyunción
Notación
Se lee
no 'p'
'p' y 'q'
'p' o 'q'
Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.
Implicación
Implicación
Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe
o como abreviatura de . La declaración " implica " es falsa siempre que
sea verdad pero no necesariamente .
Si
y , se escribe , que se lee " implica y es implicada por ", o bien " si y sólo si ".
Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:
Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.
Conjunción|Salgo tarde
no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.
Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamos asegurar que Aquí hay alguien.
hay nadie Aquí hay alguien
Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez. (al autor: por favor considera un ejemplo diferente. Parece ser que has introducido una disyunción exclusiva referida a la disyunción lógica que pones en el siguiente enlace)
Disyunción lógica| viajo en bus
viajo en mi auto o lo uno o lo otro
Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.
Negación|
produce nada Produce algo
Cuantificadores
Cuantificadores
Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: elcuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.
Nombre
cuantificador existencial con marca de unicidad
Notación
Se lee
Para todo x...
Existe por lo menos un x...
Existe un único x...
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma
que se leen "para todo , es verdad que " y "existe por lo menos un tal que es verdad".
Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que
dice lo mismo que dice . En palabras, decir "no es para todo que es verdad" es igual que decir "existe
tal que es falsa".
Teoría de números
Teoría de números
Análisis matemático
Análisis matemático
Análisis real
Análisis real
Límites
Para decir que el límite de la función
es cuando tiende á , se escribe:
o bien .
Igualmente, para decir que la sucesión
va á cuando tiende a la infinidad, se escribe:
o bien .
Derivadas
Derivadas ordinarias
Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:
Las derivadas serian:
Derivadas parciales
Si la función depende de dos o más variable, por ejemplo:
Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:
Misceláneos
Misceláneos
Funciones
Para decir que una función
va desde el espacio al espacio , se escribe .
Tabla de Símbolos
En matemática, existe un conjunto de símbolos que son frecuentemente utilizados en la formación de expresiones matemáticas. Debido a que los matemáticos están familiarizados con estos símbolos, los mismos no requieren ser explicados cada vez que se utilizan.
En vista de esto, para beneficio de los matemáticos novatos, en el Anexo:Tabla de símbolos matemáticos y Anexo:Constantes matemáticas se lista muchos de estos símbolos comunes, junto con su nombre, pronunciación y el campo de las matemáticas con el que se relacionan. Adicionalmente, la segunda línea contiene una definición informal, mientras que la tercera provee un ejemplo breve.
Nota: Si algunos de los símbolos no se muestran correctamente en tu pantalla, podría ser que tu navegador no implemente correctamente el estándar HTML 4 sobre codificación de caracteres o, alternativamente, que te falte instalar alguna fuente requerida adicional.
Nota
Nota
Ir a↑ Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.
Teoría de conjuntos
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como lahipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinitoen la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
Teoría básica de conjuntos
Teoría básica de conjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3,r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
Álgebra de conjuntos
Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento bpertenece a B.
Teoría axiomática de conjuntos
Teoría axiomática de conjuntos
La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de éstos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
Ver también
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