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Enunciado del Problema
Una familia de esquimales habita en un iglú con forma de paraboloide elíptico cuya ecuación, convenientemente escalada, podría ser
estando el suelo en
Durante la noche se calientan encendiendo un fuego en el centro del suelo del iglú. Este foco de calor provoca una distribución de temperatura dentro del iglú dada por la función
Hállese el flujo de calor a través de las paredes y del suelo del iglú (tómese )
Jugando en el exterior del iglú, la niña esquimal observa que el viento empuja un copo de nieve desplazándolo alrededor del iglú. Si la fuerza del viento viene dada por el campo
¿Qué trabajo debe realizar el viento para que el copo de nieve dé una vuelta completa al iglú volviendo al punto de partida?
¿Qué trabajo realizará el viento para desplazar el copo de nieve sobre la superficie exterior del iglú desde un punto de su base hasta su cima (0,0,2)?
Enunciado
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Resolución
Paso 1. Lee con atención el enunciado del problema.
Paso 2. ¿Qué necesitas saber para resolver el problema?
Conceptos con los que se trabaja en las distintas partes del problema:
enunciado general
Superficie cuádrica
(paraboloide elíptico).
apartado 1)
Flujo de un campo a través de una superficie (integrales de superficie).
apartados 2) y 3)
Trabajo realizado por un campo a lo largo de una línea
.
Campo conservativo
.
Paso 3. Haz uno o varios dibujos que reflejen las situaciones descritas en el enunciado.
Paso 4. Comienza a resolver el problema:
apartado 1)
Se trata de hallar el flujo de un campo a través de la superficie del iglú, es decir, de realizar una integral de superficie.
Teniendo en cuenta que lo que proporciona el enunciado es la función de distribución de temperatura, ¿cuál es el campo que tienes que integrar?
Teniendo además en cuenta que la superficie que se considera, al incluir también el suelo, es cerrada, ¿qué resultados de cálculo vectorial pueden ser útiles aquí?
apartado 2)
Ahora de trata del cálculo del trabajo de un campo a lo largo de una trayectoria (integral de línea). En el enunciado no se determina la trayectoria con precisión, únicamente se sabe que es cerrada puesto que el copo vuelve al punto de partida. Esto ha de hacerte pensar en la posibilidad de que el campo de fuerza sea conservativo, lo que haría que la respuesta fuera inmediata.
¿Qué propiedades tienen los campos conservativos?
¿Es conservativo el campo del enunciado?
En vista de lo anterior, ¿Cuál es la respuesta a este apartado?
apartado 3)
Nuevamente teniendo en cuenta lo anterior, dado un campo conservativo, para calcular el trabajo realizado por el campo a lo largo de una curva, ¿qué necesitas?
¿Cómo se calcula la función de potencial de un campo conservativo dado?
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