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Cuádricas
Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como
donde
Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.
Clasificación
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura s, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar ssin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación . Ahora bien,
con
Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A00 ¹ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
Si s = 3 :
det A > 0 ---> elipsoide real
det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
det A = 0 ---> cono imaginario
Si s = 1 :
det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)
det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces;
Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación
donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene
J > 0
K' ¹ 0 y signo K' = signo I ---> cilindro elíptico imaginario
K' ¹ 0 y signo K' ¹ signo I ---> cilindro elíptico real
K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes
J < 0
K' ¹ 0 ----> cilindro hiperbólico
K' = 0 ----> par de planos reales secantes
J = 0 y I ¹ 0
K' ¹ 0 ----> cilindro parabólico
K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos
K' = 0 y J' < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos
K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:
Clasificación de las Cuádricas
det A00 ¹0
det A00 = 0
s = 3
s = 1
det A > 0 Elipsoide Real
det A < 0 Elipsoide Imaginario
det A = 0 Cono Imaginario
det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico
det A < 0 Hiperboloide Elíptico
det A = 0 Cono Real
J > 0
J < 0
J = 0
I ¹ 0
K'¹ 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario
K' ¹ 0 , signo K' ¹ signo I Cilindro elíptico real
K' = 0 Par de planos imaginarios secantes
K' ¹ 0 Cilindro hiperbólico
K' = 0 Par de planos reales secantes
Centro
Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0) Î IR3 se define el plano polar de P respecto a la cuádrica de matriz A como el plano de ecuación
Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P.
No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x, y, z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones
que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.
Si det A00¹ 0, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución se conoce como centro de la cuádrica.
Si det A00 = 0 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cuádrica tiene una recta de centros. Por otro lado, si det A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1 existe un plano de soluciones, y se dice que la cuádrica tiene unplano de centros. Finalmente, si los rangos difieren o det A ¹ 0 el sistema no tiene solución, en tal caso la cuádrica carece de centro, recta o plano de centros.
Así, se tiene:
Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.
Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes.
Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes.
El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.
El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetría.
Ejemplo:
Consideremos la cuádrica de ecuación
Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto (2, 1, 3) es el plano de ecuación
que corta a la superficie (nótese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en la figura siguiente).
El centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuaciones
que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.
En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0, 1, 1/2) y (0, 2, 0):
En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma, mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Ecuación reducida
La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.
Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducida aplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano.
A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan, así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.
Denotemos por
, y las raíces de , entonces:
Elipsoides, hiperboloides y conos:
donde
elipsoide
hiperboloide hiperbólico
hiperboloide elíptico
cono
Paraboloides:
donde
paraboloide elíptico
paraboloide hiperbólico
Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes:
donde
cilindro elíptico
cilindro hiperbólico
par de planos secantes
Cilindro parabólico:
donde
cilindro parabólico
Pares de planos paralelos:
donde
par de planos paralelos
Cuádricas no degeneradas
Elipsoide
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos.
Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación reducida que se da arriba):
Cortes por planos z = a
Si a < c la curva de corte es una elipse de ecuación
donde
Si a > c no hay intersección real.
Si a = c la intersección se reduce a un punto, siendo el plano tangente a la superficie elíptica.
Para cortes con planos de la forma y = a ó x = a el resultado es análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.
(corte por un plano y = a con 0 < a < b)
(corte por un plano x = a con 0 < a < a)
Hiperboloide hiperbólico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):
Cortes por planos z = a
La curva de corte es una elipse de ecuación
donde
( a > 0 )
( a = 0, elipse de garganta )
Cortes por planos x = a
El corte es la hipérbola de ecuación
donde
( a = 0 )
( a > 0 )
Cortes por planos y = a
El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puede escribir como
Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.
Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.
Hiperboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
(En las figuras anteriores a = b = c)
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y uno positivo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)
Cortes por planos z = a
la intersección es una hipérbola de ecuación
donde
Corte por planos y = a
el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z
Cortes por planos x = a
si |a| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación
donde
x = a > a
x = -a < -a
si |a| < a no hay intersección real.
si |a| = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie.
( a = 0 )
A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos
(corte por plano z = a > c)
(corte por plano y = a > 0)
(corte por plano x = a > 0)
Paraboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba):
Cortes por planos z = a
si a > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b con ecuación
( a > 0 )
si a < 0, entonces no existe intersección.
si a = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.
(a < 0)
Corte por planos y = a o por planos x = a las curvas intersección son las parábolas
(corte por plano y = a = 0 )
(corte por plano x = a >0 )
Paraboloide hiperbólico
Un ejemplo real
(Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)
Ecuación reducida:
En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:
Cortes por planos z = a
si a ¹ 0, entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación
(a > 0)
(a < 0)
si a = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas
(a = 0)
Cortes por planos y = a o por planos x = a
las curvas intersección son las parábolas
y respectivamente.
( y = a = 0)
( x = a = 0 )
A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados
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