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Anomalía excéntrica
Anomalía excéntrica
En la mecánica celeste , la anomalía excéntrica es un angular parámetro que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una elíptica órbita Kepler .
Para un punto P en órbita en una elipse , la anomalía excéntrica es el ángulo E en la figura de la derecha. Se determina trazando una línea vertical desde el eje mayor de la elipse por el punto P y la localización de su intersección P 'con el círculo auxiliar, un círculo de radio a (el semi-eje mayor de la elipse) que enscribes toda la elipse . Esta intersección P 'se llama el punto correspondiente a P. El radio del círculo auxiliar pasa por el punto correspondiente forma un ángulo E con el eje mayor.
La anomalía excéntrica es uno de los tres parámetros angulares ("anomalías") que definen una posición a lo largo de una órbita, los otros dos son la anomalía verdadera y la anomalía media .
La anomalía excéntrica del punto P es el ángulo E. El centro de la elipse es el puntoC, y la atención se centra el punto F. El vector de posición radial r es tomada desde el foco F, no desde el centro de coordenadas C. Círculo auxiliar tiene un radio a; círculo auxiliar menor tiene un radiob.
Coordenadas
Coordenadas
Si el centro de coordenadas se toma como el centro de la elipse, las coordenadas de un punto P (x, y) sobre la elipse satisfacen la ecuación
donde ayb son los ejes semi-mayor y semi-de menor importancia que determinan la duración (2 a) y anchura (2 b) de la elipse.
La anomalía excéntrica E en términos de estas coordenadas viene dada por:
Las ecuaciones anteriores se pueden establecer por el dibujo el círculo auxiliar de radio a que encierra la trayectoria elíptica y el círculo auxiliar de menor radio b inscrito dentro de la trayectoria. La primera ecuación se establece por la definición de E. Al extender una línea vertical que pasa por el punto P a la circunferencia auxiliar, un triángulo rectángulo se forma con base que es la coordenada x de P, y la hipotenusa a, estableciendo la primera ecuación. La segunda ecuación se realiza con un círculo auxiliar menor. Una línea horizontal que pasa por P intersecta este círculo auxiliar menores de radio b, estableciendo otro triángulo rectángulo con la altitud y, y la hipotenusa b. Etiquetar el ángulo adyacente E ':
Es próximo se establece que E '= E. A partir de la ecuación de la elipse y la identidad trigonométrica de Pitágoras :
Del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo con r como hipotenusa:
Por lo tanto, el radio (distancia desde el foco al punto P) está relacionada con la anomalía excéntrica por la fórmula
Con este resultado la anomalía excéntrica se puede determinar a partir de la anomalía verdadera, como se muestra a continuación.
Desde la anomalía verdadera
Desde la anomalía verdadera
La anomalía verdadera es el ángulo θ marcado en la figura, situado en el foco de la elipse. La anomalía verdadera y la anomalía excéntrica se relacionan de la siguiente manera.
Usando la fórmula para R anteriormente, el seno y el coseno de E se encuentran en términos de θ:
Por lo tanto,
Por lo tanto, de ángulo E es el ángulo adyacente de un triángulo rectángulo con hipotenusa 1 + e cosθ, lado adyacente e + cosθ, y √ lado opuesto (1-E 2) sinθ.
Además,
Sustituyendo cos E que se encuentran más arriba en la expresión para r, la distancia radial desde el centro de coordinación hasta el punto P, se puede encontrar en cuanto a la verdadera anomalía, así:
Desde la anomalía media
Desde la anomalía media
La anomalía excéntrica
está relacionada con la anomalía media por la ecuación de Kepler :
Esta ecuación no tiene solución cerrada para
dado . Por lo general se resuelve por métodos numéricos, por ejemplo, el método de Newton-Raphson .
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