́
Axiomas de R. Principio de induccion
Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres.
L. Kronecker
1.1. Introducción
Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadas
e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo de todo eso. En principio, pare-
cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base común, que es, precisamente, de
lo que nos vamos a ocupar en este Capítulo. Me estoy refiriendo a los números reales que repre-
sentamos por R. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que
se pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos. También puedes
extraer raíces de números reales positivos y elevar un número real positivo a otro número real.
Lo que quizás no sepas es que todo lo que puedes hacer con los números reales es consecuencia
de unas pocas propiedades que dichos números tienen que, además, son muy elementales. En
este Capítulo estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo lo
que sigue; constituyen los “axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a decírtelo todo,
voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más adelante cuando su necesidad sea
manifiesta (si echas algo en falta, ve al Capítulo 4).
1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.
Al terminar este apartado, entenderás el significado de la frase de Bertrand Russell que fue
uno de los más grandes matemáticos y filósofos del siglo XX.
La matemática pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qué está hablando
ni si lo que está diciendo es verdad.
1Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.
2
Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apro-
piado. Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un
problema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo
sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas
son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para que sientas lo que
quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone
que x; y son números reales.
1. Prueba que 0 x D 0.
2. Prueba que . x/y D xy.
3. Prueba que si x ¤ 0 entonces x 2 > 0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que
has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu
reacción ¿que demuestre que 0 x D 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es
así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta-
mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones
lo más frecuente es “quedarse colgado” con la “mente en blanco” sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va
a consistir en unas propiedades de los números – axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos
a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas
de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados
(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas
y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se
demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema
se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo
llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario, lema, proposición y otros. Pero
la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de
teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.
Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general de
dicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminar
y se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícita
a los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse con
tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados.
Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible.
Entre las particularidades que distinguen a las Matemáticas de las demás ciencias hay una
muy especial: las Matemáticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevos
axiomas. Una definición lo que hace es introducir un término nuevo y establece cómo dicho
término se expresa en función de los axiomas de la teoría. Por ejemplo, la definición de con-
tinuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas de
orden de R.
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Cálculo diferencial e integralAxiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.
3
Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usua-
les. Me limitaré a la más importante: la implicación lógica. Los teoremas matemáticos tienen
casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis.
Entremos en detalles. La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f
es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por
ejemplo, “la imagen de f es un intervalo”. Representemos por H la hipótesis y por T la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hi-
pótesis H . No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizar
la función f .
Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticas las hipótesis son verdade-
ras.
Ahora te preguntarás, si H no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir que H implica T
o, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de H ? La respuesta es: “H implica
T ” quiere decir que siempre que H sea verdadera también T es verdadera. Observa que no
estamos afirmando (no tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es verda-
dera también lo es T . Con más precisión, demostrar que H implica T consiste en probar que la
proposición H ÷T es cierta. Teniendo en cuenta que la proposición H ÷T es la disyunción
lógica (noH )_T , resulta que si H es falsa entonces H ÷T es verdadera (por eso se dice que
de una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si H es verdadera entonces para que
H ÷T sea verdadera tiene que ocurrir que T sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que
H es verdadera y que H ÷T es verdadera, deducimos que T es verdadera.
Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles de
demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no
intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son rela-
tivas, condicionales.
También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russell
del principio: en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha
frase queda por aclarar.
¿Recuerdas los axiomas de la geometría elemental? En dichos axiomas se establecen pro-
piedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados “punto”,“recta” y “plano”. Pero no
se dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la sección
siguiente estableceremos los axiomas de los números reales, pero no diremos lo que es un nú-
mero real. ¡En matemáticas nunca decimos cuál es la naturaleza concreta de los objetos con
los que trabajamos! Sucede que la intuición nos lleva muchas veces a una interpretación na-
tural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretación natural no está disponible. Y, lo
más interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teoría matemática.
Precisamente, las matemáticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractas
cuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hay
entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qué afirma Bertrand
Russell que “en matemáticas no sabemos de lo que hablamos”.
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Cálculo diferencial e integralAxiomas de los números reales
1.2.
4
Axiomas de los números reales
1.2.1. Axiomas algebraicos
Como ya sabes, se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros : : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2 Z; q 2 N, cuyo
conjunto representamos por Q.
p
También conoces otros números como 2, ., o el número e que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, “números irracionales”. Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de
los números reales y se representa por R.
Es claro que N . Z . Q . R.
Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la
pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números;p
sino que lo realmente
interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número 2 es que su cuadrado
es igual a 21 .
Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño
grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propie-
dades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se
pueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x; y se
escribe x Cy, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos
son las siguientes.
P1 Propiedades asociativas. Para todos x; y; z en R:
.x C y/ C z D x C .y C z/ I
.xy/z D x.yz/
P2 Propiedades conmutativas. Para todos x; y en R:
xCyDy CxI
x y D yx
P3 Elementos neutros. Hay dos números reales distintos que representamos por 0 y 1
tales que para todo x 2 R se verifica que:
0CxDx
1x D x
P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada número real x hay un número real llamado
opuesto de x, que representamos por x, tal que x C . x/ D 0:
Para cada número real x distinto de 0, x ¤ 0, hay un número real llamado inverso de x,
que representamos por x 1 , tal que xx 1 D 1:
1 La sección Números y medida de magnitudes trata de la aparición de los números irracionales y su relación
con la medida de magnitudes
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Cálculo diferencial e integralAxiomas de orden
5
P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todos x; y; z en R.
Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas
pueden probarse cosas tan familiares como que 0xD0, o que . x/yD .xy/. Vamos a hacerlo.
1.1 Proposición. Se verifican las siguientes igualdades
0x D 0;
. x/y D x y;
. x/. y/ D xy :
Demostración. Probaremos primero que 0x D 0. Por P5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como con-
secuencia de P3 es 0 C 0 D 0. Obtenemos así que 0 x D 0 x C 0 x. Usando P4, sumamos el
opuesto de 0 x a ambos lados de la igualdad 0 x D0 x C0 x y, usando también P1 (la propiedad
asociativa), obtenemos que 0 x D 0.
Probaremos ahora que . x/y D .xy/. Tenemos que xy C. x/y D.x C. x//y D0 y D0.
Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdad xy C . x/y D 0 nos dice, por
P4, que . x/y es el opuesto de xy. Eso es justamente lo que queríamos probar.
Finalmente, la igualdad . x/. y/ D xy es consecuencia inmediata de la anterior.
El símbolo x debe leerse siempre “el opuesto de x” y no “menos x”. La razón es que
la palabra “menos” remite a una idea de orden (si hay “menos” es porque hay “más”) y el
significado de x es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la que
ni siquiera hemos hablado aún. ¡No cometas el error de pensar que x es negativo!
Notación. Suele escribirse x
x=y o xy en vez de x y 1 .
y en vez de x C . y/. También, supuesto y ¤ 0, se escribe
1.2.2. Axiomas de orden
Los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen
llamarse propiedades de orden. Como sabes, los números suelen representarse como puntos de
una recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha
de 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por RC . Las propiedades
básicas del orden son las siguientes.
P6 Ley de tricotomía. Para cada número real x se verifica una sola de las siguientes tres
afirmaciones: x D 0, x es positivo, x es positivo.
P7 Estabilidad de RC . La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
1.2.2.1.
Relación de orden
Observa que en P6 se dice, en particular, que el 0 no es positivo, ¡el 0 es el 0! Por otra parte,
si x es un número positivo, entonces como x C . x/ D 0 y el 0 no es positivo, concluimos,
por P7, que x no es positivo. Los elementos del conjunto R D f x W x 2 RC g, es decir,
los opuestos de los números positivos, se llaman números negativos. Observa que si z 2 R
entonces z 2 RC .
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Cálculo diferencial e integralDesigualdades y valor absoluto
6
1.2 Definición. Para x; y 2 R escribimos x < y (léase x es menor que y) o y > x (léase y
es mayor que x) para indicar que y x 2 RC , y escribimos x 6 y o y > x para indicar que
y x 2 RC [ f0g.
C
.
Notación. En adelante usaremos las notaciones: RC
o DR [f0g, R o DR [f0g y R DRnf0g.
1.3 Proposición. Para todo x ¤ 0 se verifica que x 2 > 0. En particular, 1 > 0.
Demostración. Probaremos que si x ¤ 0 entonces x 2 > 0. En efecto, si x ¤ 0 entonces, por
P6, o bien x es positivo o bien x es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de
(1.1), es x 2 D x x D . x/. x/, concluimos que x 2 es positivo. En particular, tenemos que
12 D 1 > 0. ¡Acabamos de probar que 1 > 0!.
Tenemos ahora dos tipos de propiedades en R, las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 y
P7. En la siguiente sección estudiamos cómo se relacionan entre sí.
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto
Las propiedades del orden de los números reales son las que nos permiten trabajar con
desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-
chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos
más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de
sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante co-
mo saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente
desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante numerosos ejemplos
concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que
gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte
de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos que proceder en
cada caso particular.
En el siguiente resultado ¡el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedades
principales del orden de R. Son las que deberás usar para trabajar con desigualdades.
1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x; y; z números reales.
1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z.
2. x 6 y e y 6 x implican que x D y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x < y, x D y, o y < x:
4. x < y implica que x C z < y C z.
5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.
6. x < y , z < 0 implican que xz > y z.
7. xy > 0 si, y sólo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia
si x ¤ 0 es x 2 > 0 y, en particular, 1 > 0.
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Cálculo diferencial e integralDesigualdades y valor absoluto
8. z > 0 implica que
7
1
> 0:
z
9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < y
1
1
implica que
< :
y
x
Todas estas propiedades son fáciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si
x < y se tiene que y x > 0. Si ahora es z > 0, también será z.y x/ > 0, es decir,
zy zx > 0 o, sea, zx < zy. Lo único que hemos usado aquí ha sido la definición de los
símbolos “<” y “>” y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para que
compruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.
1.2.3.1.
La forma correcta de leer las matemáticas
La forma en que están escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy
a decirte por qué y para eso voy a tratar aquí un defecto en el que solemos caer al leer o estudiar
matemáticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecánica, y por ello no es fácil de
evitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para
ponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al final de esta
sección te propongo que pruebes que la igualdad
1
1
1
C
D
x
y
xCy
(1.1)
nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas
cuándo es cierta la igualdad
1
1
1
C
D
z
x C y2
x C y2 C z
(1.2)
Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). ¿Si? ¿No? ¡Son la misma igualdad! Y, aquí
es a dónde yo quería llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque estás leyendo los
símbolos y no los conceptos, es porque ¡estás leyendo las letras! Claro, me dirás, las letras
están para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y no
quedarse en la superficie de los símbolos. Los símbolos proporcionan mucha comodidad para
expresar las ideas matemáticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado,
los símbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad
(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que “la suma de dos inversos nunca es
igual al inverso de la suma”. Por tanto, la igualdad (1.2) jamás puede darse pues es la misma
igualdad (1.1) en la que se ha sustituido x por x C y 2 e y por z. Pero tanto x como x C y 2
son números reales cualesquiera e igual ocurre con z e y. ¿Te das cuenta del problema? No es
igual retener la idea de que “1 dividido por x más 1 dividido por y nunca es igual a 1 dividido
por x C y” que asimilar que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”.
En el primer caso los símbolos x e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultan
el concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrás reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma
cosa.
Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayoría de los
libros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue.
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8
Sea f W Œa; b ! R continua y verificando que f .a/f .b/ < 0. Entonces hay algún
c 2 a; bΠtal que f .c/ D 0.
Demasiadas letras f , a, b, c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultar
el resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: “toda función continua en un
intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de dicho intervalo”.
Los teoremas deben enunciarse así, a ser posible sin símbolos. Yo procuro hacerlo siempre
que el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagas
tú. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: “una
desigualdad se conserva al multiplicarla por un número positivo”.
1.5 Estrategia. Traduce los símbolos en conceptos. Cuando leas matemáticas presta atención
a los conceptos y no retengas símbolos concretos.
1.6 Definición. Se dice que un conjunto no vacío de números reales, A . R, tiene máximo
si hay un número M 2 A que es el mayor de todos los elementos de A, es decir, x 6 M para
todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M D mKax A. Se dice que un conjunto no vacío
de números reales, A . R, tiene mínimo si hay un número m 2 A que es el menor de todos los
elementos de A, es decir, m 6 x para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos m D mKın A.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x 2 R se define como el número:
.
x si x > 0
jx j D
x si x 6 0
Para trabajar con valores absolutos es útil recordar la siguiente definición.
p
z al único número mayor o
1.7 Definición. 2 . Para cada número z 2 RC
o , representamos por
igual que cero cuyo cuadrado es igual a z.
1.2.3.2.
Una función aparentemente caprichosa
Acabamos de definir la función “raíz cuadrada”. Ahora te propongo un juego: voy a ha-
certe una pregunta que tú vas a responder de forma inmediata
diciendo lo primero que se te
p
ocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de x 2 . Por experiencia sé que la mayoría
de las veces la respuesta es x. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la
definición anterior y responde ahora de forma meditada. Confío en que ya tengas la respuesta
p
correcta que es jxj. En efecto, se tiene que jxj2 D x 2 y, además, jxj > 0, por tanto jx j D x 2 .
Sé por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un
número real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa
y muchos creen que pue-
p
de tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que x 2 D fx; xg. Cosas más ra-
ras se han visto. Toda esta “magia” lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es
sabido
que la distancia euclídea entre dos puntos .a; b/ y .c; d / del plano viene dada por
p
.a c/2 C .b d /2 . En particular, la distancia entre los puntos .a; b/ D .1; 2/ y .c; d / D
2 Con
las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de raíces cuadradas
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9
p
p
.1; 3/ es .1 1/2 C .2 3/2 D . 1/2 D 1. ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadra-
da no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de un
número positivo es también un número positivo.
¿Sabes de dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando
en la escuela se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado
ax 2 C bx C c D 0 cuyas soluciones son los números
p
b ̇ b 2 4ac
(1.3)
2a
Ahí está el problema: en el confuso símbolo ̇ delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos
a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la
elección del sigo C, y otro negativo que corresponde a la elección del signo en la expresión
(1.3). Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Verás,
cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado ax 2 C bx C c D 0 (¿realmente se
aprende?) se obtienen las soluciones
p
p
b
b 2 4ac
b C b 2 4ac
;
2a
2a
Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las soluciones
obtenidas en la expresión
única (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por
p
ejemplo, escribir C 3 ¿acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un número
positivo y parece
p
3?
Respuesta,
porque
totalmente
improcedente
escribir
C7.
Entonces,
¿por
qué
escribir
C
p
3 es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le
llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que puedes creerpy no solamente
entre estudiantes. Confío en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que x 2 D jxj y que
la raíz cuadrada no es una función caprichosa.
La utilidad de la raíz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguiente
estrategia de procedimiento.
1.8 Estrategia.
a) Para probar que dos números positivos son iguales es suficiente probar
que sus cuadrados son iguales.
b) Para probar una desigualdad entre dos número positivos es suficiente probar dicha de-
sigualdad para sus cuadrados.
El enunciado anterior está hecho como a mi me gusta: con palabras y sin símbolos. Ponien-
do símbolos, lo que se dice en el enunciado es que:
2
2
Dados a; b 2 RC
o para probar que a D b es suficiente probar que a D b y para
2
2
probar que a < b es suficiente probar que a < b .
Todo lo dicho es consecuencia de que b 2
a2 D .b
a/.b C a/ y se tiene que b C a > 0.
Geométricamente, jxj representa la distancia de x al origen, 0, en la recta real. De manera más
general:
jx yj D distancia entre x e y
representa la longitud del segmento de extremos x e y.
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Cálculo diferencial e integralEjercicios propuestos
10
1.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x; y 2 R se verifica que:
i) jxj 6 y es equivalente a
y 6 x 6 y.
ii) jx yj D jxjjyj.
iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad se da si, y sólo si, xy > 0 desigualdad triangular.
iv) jjxj
jyjj 6 jx
yj y la igualdad se da si, y sólo si, xy > 0.
Demostración. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de valor
absoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).
ii) Tenemos que jxyj2 D .xy/2 D x 2 y 2 D jxj2 jyj2 D .jxjjyj/2 .
iii) Tenemos que
jx C yj2 D.xCy/2 Dx 2 C2xyCy 2 Djxj2 C2xyCjyj2 6jxj2 C2jxyjCjyj2 D.jxjCjyj/2
La igualdad se da si, y sólo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0.
iv) Tenemos que
jjxj
jyjj2 D x 2
2jxyj C y 2 6 x 2
2xy C y 2 D .x
y/2 D jx
yj2
La igualdad se da si, y sólo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0.
Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te fijes en las letras
sino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla “el valor absoluto de un producto es igual
al producto de los valores absolutos”. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:
i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.
ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si,
todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.
1.2.4. Ejercicios propuestos
1. ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?
2. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que
p
2 no es racional.
3. Sabiendo que a C b > c C d; a > b; c > d I ¿se verifica necesariamente alguna de las
desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo en
cada caso.
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Cálculo diferencial e integralEjercicios propuestos
11
4. Sea x un número real. Estudia si cada una de las desigualdades
x2 < x
x3 < x2
y
es consecuencia de la otra.
5. Calcula para qué valores de x se verifican las desigualdades siguientes.
i)
1
2x 3
<
xC2
3
iii) x 2
v) x 2
ii)
1
1
C
>0
x
1 x
5x C 9 > x
iv) x 3 .x 2/.x C 3/2 < 0
.a C b/x C ab < 0 vi) 3.x a/a2 < x 3 a 3 < 3.x
a/x 2
6. Prueba las siguientes desigualdades:
a) 0 < x C y
b)
1
1
C
x
aCb
x y < 1 siempre que 0 < x < 1; 0 < y < 1:
x
<
1
1
C siempre que 0 < a < x < b:
a
b
7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivos a > 0 y b > 0 se verifica que
a
1
p <p
2.a C b/ b
b
1
p
aCb
8. Calcula para qué valores de x se verifican las siguientes desigualdades.
i)
iii)
v)
vii)
jx 5j < jx C 1j
ii)
jx 2 xj > 1
iv)
jx 1j C jx C 1j < 1 vi)
jxj jyj D jx yj
viii)
jx 1jjx C 2j D 3
jx y C zj D jxj jz yj
jx C y C zj D jx C yj C jzj
jx C 1j < jx C 3j
s
u
x
s
sCuCx
x
<
<
donde t; v; y 2 RC , prueba que <
< .
t
v
y
t
t CvCy
y
Generaliza este resultado.
9. Supuesto que
10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la
igualdad.
a) 2x y 6 x 2 C y 2 :
b) 4x y 6 .x C y/2 :
c) x 2 C x y C y 2 > 0:
d) .a2 C a C 1/.b 2 C b C 1/.c 2 C c C 1/ > 27abc donde a > 0; b > 0; c > 0.
Sugerencia. Para probar a) considérese .x
ducirse de a).
y/2 . Las demás desigualdades pueden de-
11. Demuestra todos los apartados del teorema (1.4) y enúncialos con palabras.
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12
12. Sean x e y números distintos de cero. Prueba que las igualdades
q
1
1
1
D C ;
x2 C y2 D x C y
xCy
x
y
son falsas.
.2
.2
13. Comprueba que .x C 1/ 12 .2x C 1/ D x 12 .2x C 1/ . Por tanto, extrayendo
raíces cuadradas, se deduce que .x C 1/ 12 .2x C 1/ D x 12 .2x C 1/, esto es x D x C 1
y, por tanto, 0 D 1. ¿Dónde está el error?
14. Calcula los números reales x que verifican cada una de las igualdades
p
p
1
2
1
xC1
x 1 D 2;
p
p D
3
x 2
x
Comprueba las soluciones obtenidas.
15. Prueba que jxj C jyj C jzj 6 jx C y
zj C jx
y C zj C j x C y C zj.
16. Sean a, b y c números positivos. Prueba que
1
aCbCc
1
1
6 2 C 2 C 2
abc
a
b
c
17. Prueba que si m es un números natural que no es el cuadrado de ningún número natural,
p
es decir, m ¤ n2 para todo n 2 N, entonces se verifica que m es un número real no
racional.
Sugerencia. Usa la descomposición de m en factores primos.
18. Justifica las siguientes afirmaciones.
a) La suma de un número racional y un número irracional es un número irracional.
b) El producto de un número racional no cero por un número irracional es un número
irracional.
c) La suma y el producto de dos números irracionales puede ser racional o irracional.
p
p
p p
p
p
5C2
d) Los números 2 C 3, 6
2
3 y p
son irracionales.
3 5C4
1.2.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 1 ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?
Solución. Si se pudiera dividir por 0, es decir, si hubiera un número que fuera el inverso
del 0, su producto por 0 habría de ser igual a 1, pero ya sabemos que al multiplicar por 0
el resultado es siempre 0. Conclusión: si se pudiera dividir por cero habría de ser 1 D 0,
lo cual es falso.
©
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Ejercicio resuelto 2 ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que
es racional.
p
2 no
Solución. Que un número no es racional quiere decir que no puede escribirse como
cociente de números enteros. Para probar que un número es irracional suele razonarse por
contradicción: se supone que el número enp
cuestión es racional y se llega a una situación
contradictoria.
Una prueba clásica de que 2 es irracional es como sigue. Supongamos
p
que 2 fuera racional. Entonces existirán números naturales m y n sin factores comunes,
p
m
en particular m y n no podrán ser ambos pares, tales que 2 D , esto es, 2n2 D m2 . La
n
igualdad 2n2 D m2 nos dice que m2 es par lo cual implica que también tiene que serlo
m. Así podemos escribir m D 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificando
tenemos que n2 D 2p 2 , y de aquí se sigue, al igual que antes, que n tiene que ser par y
ésta es la contradicción anunciada.
©
2x 3
1
< .
xC2
3
Solución. Claro está, x ¤ 2 (recuerda, no se puede dividir por 0). Como al multiplicar
una desigualdad por un número positivo la desigualdad se conserva, deducimos que si
x > 2, la desigualdad dada equivale a 6x 9 < x C 2, es decir, x < 11=5. Luego
para 2 < x < 11=5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora qué pasa si x < 2. En tal
caso, al multiplicar por x C 2 < 0 la desigualdad equivale a 6x 9 > x C 2, es decir,
x > 11=5 condición que no puede darse si x C 2 < 0. En resumen, la desigualdad es
cierta para 2 < x < 11=5.
Ejercicio resuelto 3 Calcula para qué valores de x se verifica que
Otra forma de proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalen-
te a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva. Multiplicando la desigualdad
dada por .x C 2/2 obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente
.2x
1
3/.x C 2/ < .x C 2/2
3
Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que
5x 2 x 22 < 0. Las soluciones de la ecuación 5x 2 x 22 D 0 son a D 2 y
b D 11=5. Por tanto, 5x 2 x 22 D 5.x C 2/.x 11=5/. Resulta así que la desigualdad
dada equivale a .x C 2/.x 11=5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un producto
de dos números sea negativo dichos números deben ser uno positivo y otro negativo,
concluimos que debe ser x C 2 > 0 y x 11=5 < 0, es decir 2 < x < 11=5 (la otra
posibilidad x C 2 < 0 y x 11=5 > 0 no puede darse).
©
Ejercicio resuelto 4 Calcula para qué valores de x se verifica que
3.x
a/a2 < x 3
a 3 < 3.x
a/x 2
Solución. La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades:
x3
a3
3.x
Teniendo en cuenta que x 3
x3
a3
3.x
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a/a2 > 0I
a 3 D .x
a/a2 D .x
x3
a3
3.x
a/x 2 < 0
a/.x 2 C ax C a2 /, resulta
a/.x 2 C ax
2a2 / D .x
a/2 .x C 2a/
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x3
a3
14
a/x 2 D .x
3.x
a/. 2x 2 C ax C a2 / D 2.x
a/2 .x C a=2/
Deducimos que la desigualdad del enunciado se verifica si, y sólo si, x ¤ a, x C 2a > 0,
y x C a=2 > 0.
Si a > 0 entonces x C 2a > x C a=2 y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x >
y x ¤ a.
Si a < 0 entonces x Ca=2 > x C2a y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x >
a=2
2a. ©
Ejercicio resuelto 5 Sabiendo que aCb > cCd; a > b; c > d ; ¿se verifica necesariamente
alguna de las desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un
contraejemplo en cada caso.
Solución. Que las letras no te despisten: lo que te están diciendo es que si la suma de
dos números distintos entre sí es mayor que la suma de otros dos números distintos entre
sí, ¿es cierto, por ejemplo, que el mayor del primer par es más grande que el mayor
del segundo par? Está claro que no tiene por qué ser así: los otros sumandos pueden
compensar la diferencia. Por ejemplo 252 C 250 > 500 C 1. Concluimos que no tiene
por qué ser cierto que a > c ni tampoco b > c. El ejemplo 500 C 2 > 251 C 250
prueba que tampoco tiene por qué ser b > d . Intenta ahora buscar un ejemplo en el que
no se cumpla que a > d (pero no le dediques más de cinco minutos). ¿Ya? No lo habrás
encontrado porque, si lo piensas un poco, verás que tiene que ser necesariamente a > d .
Intenta demostrarlo (aunque tengas que dedicarle más de cinco minutos).
Lo primero que se le ocurre a uno es escribir a > .c b/ C d . Si c b fuera siempre
positivo habríamos acabado (y también habríamos demostrado más de lo que queremos),
pero no tiene por qué ser así, por ejemplo 9 C 8 > 2 C 1. La demostración directa no
parece viable. En estos casos tenemos que intentar un camino indirecto. Probemos que
no puede ocurrir que a 6 d . Eso es fácil. Fíjate: si fuera a 6 d , como nos dicen que b < a
y d < c, también sería b < d y a < c; pero entonces a C b < c C d lo que es contrario
©
a la hipótesis hecha. Luego concluimos que a > d .
Ejercicio resuelto 6 Supuesto que 0 < a < x < b, prueba que se verifica la siguiente
desigualdad.
1
1
1
1
C
< C
x
aCb x
a
b
Solución. En este ejercicio no parece, en principio, cosa fácil deducir la desigualdad
pedida de las hipótesis que nos dan. En estos casos puede intentarse trabajar para atrás,
es decir, ir convirtiendo la desigualdad que nos piden probar en otras equivalentes a ella
y más sencillas, hasta llegar a una que seamos capaces de deducir de la hipótesis que nos
dan. Haciendo las operaciones indicadas, podemos escribir la desigualdad en la forma
aCb
aCb
<
x.a C b x/
ab
y, como los denominadores son positivos, esto es lo mismo que
.a C b/a b < .a C b/x.a C b
x/
Como a C b > 0 esta desigualdad equivale a ab < x.a C b
0 < ax C bx
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x2
ab D .x
a/.b
x/, es decir:
x/
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Pero esta última desigualdad es consecuencia de que la hipótesis hecha, 0 < a < x < b,
la cual implica que 0 < x a y 0 < b x. Y por tanto .x a/.b x/ > 0.
Con esto podemos considerar que hemos acabado, pero es una buena costumbre dar ahora
la vuelta al razonamiento que hemos seguido, es decir, deshacer el camino recorrido para
obtener una prueba directa.
©
Ejercicio resuelto 7 Discutir la validez de las igualdades:
a) jx C y C zj D jx C yj C jzj
b) jx
5j < jx C 1j
Solución. a) En virtud de la desigualdad triangular, la igualdad del enunciado
jx C y C zj D j.x C y/ C zj D jx C yj C jzj, se da si, y sólo si, .x C y/z > 0.
b) En virtud de la estrategia (1.8), la desigualdad jx
desigualdad jx 5j2 < jx C 1j2 , es decir,
x2
5j < jx C 1j equivale a la
10x C 25 < x 2 C 2x C 1
o sea, 24 < 12x, esto es, x > 2. Esto también puedes comprobarlo representando los
números en una recta en la que fijas un origen y una unidad: se trata de ver cuándo x está
más cerca de 5 que de 1.
©
Ejercicio resuelto 8 Lo que sigue es una generalización del ejercicio propuesto (9).
Sean a1 ; a2 ; : : : ; an números reales cualesquiera y b1 ; b2 : : : ; bn números reales positi-
vos. Sean m y M el menor y el mayor respectivamente de los números
a1 a2
an
; ;... ; :
b1 b2
bn
Entonces, para j D 1; 2; : : : ; n, se verifica que:
m6
aj
6 M; es decir; mbj 6 aj 6 M bj
bj
y sumando estas desigualdades:
m
n
X
j D1
de donde se sigue que:
m6
bj 6
n
X
aj 6 M
j D1
n
X
bj ;
j D1
a1 C a2 C . . . C an
6 M:
b1 C b2 C . . . C bn
©
Ejercicio resuelto 9 Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso,
cuándo se da la igualdad.
i) 2xy 6 x 2 C y 2 :
ii) 4xy 6 .x C y/2 :
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iii) x 2 C xy C y 2 > 0:
iv) .a2 C a C 1/.b 2 C b C 1/.c 2 C c C 1/ > 27abc donde a > 0; b > 0; c > 0.
v) abc 6 1 donde a > 0; b > 0; c > 0 verifican .1 C a2 /.1 C b 2 /.1 C c 2 / D 8.
Sugerencia: para probar i) considérese .x
ducirse de i).
y/2 . Las demás desigualdades pueden de-
Solución.
i) y ii) Siguiendo la sugerencia, que para eso nos la dan, tenemos que
.x
y/2 D x 2 C y 2
2xy > 0
de donde se deduce que 2x y 6 x 2 C y 2 , y la igualdad ocurre si, y sólo si, x D y.
Si sumas 2xy a ambos lados de la desigualdad 2x y 6 x 2 C y 2 , obtienes que
4x y 6 .x C y/2 , y la igualdad ocurre si, y sólo si, x D y.
iii) Cambiando x por x en 2x y 6 x 2 C y 2 resulta 2x y > .x 2 C y 2 /. Por tanto
1
x 2 C x y C y 2 > .x 2 C y 2 /
2
De donde se deduce que x 2 C x y C y 2 > 0 y la igualdad se da si, y sólo si,
x D y D 0.
iv) Probaremos ahora la desigualdad .a2 C a C 1/.b 2 C b C 1/.c 2 C c C 1/ > 27abc
donde se supone que a > 0; b > 0; c > 0. Lo primero que se observa es la completa
simetría de la desigualdad propuesta. Puesto que lo único que sabemos de a, b y c
es que son positivos, parece razonable pensar que si la desigualdad que nos dan es
cierta es porque x 2 C x C 1 > 3x cualquiera sea x > 0, es decir, x 2 C 1 > 2x, o lo
que es igual .x 1/2 > 0; lo que es cierto (para todonúmero x) y la igualdad se da
si, y solo si x D 1. Sustituyendo ahora en x 2 C x C 1 > 3x, x D a, x D b, x D c
y multiplicando miembro a miembro las tres desigualdades resultantes, obtenemos
que
.a2 C a C 1/.b 2 C b C 1/.c 2 C c C 1/ > 27abc
y la igualdad se da si, y sólo si, aDb Dc D1. ¿Dónde hemos usado que los números
a, b y c son positivos?
v) La última desigualdad propuesta también llama la atención por su simetría. Usando
otra vez que 0 6 .x 1/2 , se sigue que 2x 6 1 C x 2 . Ahora sustituyes x por a, b y
c, multiplicas miembro a miembro las desigualdades obtenidas y has acabado. ©
Fíjate cuánto partido hemos sacado de la desigualdad elemental .x
p
p
Ejercicio resuelto 10 Prueba que el número 2 C 3 es irracional.
y/2 > 0.
Solución. Para hacer el ejercicio propuesto (18) hay que tener en cuenta que cuando se
efectúan operaciones racionales (suma, producto y cociente) sobre uno o varios números
racionales volvemos a obtener un número racional. En consecuencia, si realizando con
un número real ̨ y con otros números racionales operaciones racionales obtenemos un
número irracional, podemos afirmar que el número ̨ es irracional.
p
p
̨2 5 p
Por ejemplo, ̨ D 2 C 3 es irracional pues
D 6.
©
2
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