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para esta actividad necesitas:
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Un folio en blanco, lápiz, goma de borrar, escuadra, cartabón y compás.
Un folio en blanco, lápiz, goma de borrar, escuadra, cartabón y compás.
Primero vamos a dibujar un triángulo rectángulo.
Primero vamos a dibujar un triángulo rectángulo.
Lo dibujamos apoyado en su hipotenusa. Para ello dibujaremos un segmento horizontal y desde el punto medio trazaremos un arco con el compás, como muestra la figura, elegiremos un punto y construiremos el triángulo rectángulo (el por qué podemos verlo en el teorema de Tales) .
Lo dibujamos apoyado en su hipotenusa. Para ello dibujaremos un segmento horizontal y desde el punto medio trazaremos un arco con el compás, como muestra la figura, elegiremos un punto y construiremos el triángulo rectángulo (el por qué podemos verlo en el teorema de Tales) .
A continuación dibujamos un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo. Podemos hacerlo con escuadra y cartábon, para hacer los lados perpendiculares y con el compás para ajustar la distancia.
A continuación dibujamos un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo. Podemos hacerlo con escuadra y cartábon, para hacer los lados perpendiculares y con el compás para ajustar la distancia.
Dibujamos la altura respecto de la hipotenusa y dos paralelas a los catetos por los lados opuestos de sus cuadrados. Ayúdate de la escuadra y del cartabón.
Dibujamos la altura respecto de la hipotenusa y dos paralelas a los catetos por los lados opuestos de sus cuadrados. Ayúdate de la escuadra y del cartabón.
Hemos obtenido dos nuevos triángulos rectángulos que son iguales al inicial, tienen los mismos catetos. Y dos rectángulos al dividir el cuadrado de la hipotenusa.
Hemos obtenido dos nuevos triángulos rectángulos que son iguales al inicial, tienen los mismos catetos. Y dos rectángulos al dividir el cuadrado de la hipotenusa.
Vamos a comprobar que cada uno de estos rectángulos tiene la misma área que el correspondiente cuadrado de su cateto.
Vamos a comprobar que cada uno de estos rectángulos tiene la misma área que el correspondiente cuadrado de su cateto.
"Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes".
"Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes".
Los paralelogramos ABCD y EFCD tiene la misma área, ya que su base es común y la altura de los dos es la distancia entre las líneas paralelas.
Los paralelogramos ABCD y EFCD tiene la misma área, ya que su base es común y la altura de los dos es la distancia entre las líneas paralelas.
Dibujamos sedas perpendiculares a la hipotenusa por sus extremos.
Dibujamos sedas perpendiculares a la hipotenusa por sus extremos.
Y obtenemos dos paralelogramos (en azul), que tienen la misma área que los cuadrados de los catetos.
Y obtenemos dos paralelogramos (en azul), que tienen la misma área que los cuadrados de los catetos.
Pero además si los miramos horizontalmente tiene como base la hipotenusa del triángulo, por lo tanto también tienen la misma área que los rectángulos en que hemos dividido el cuadrado de la hipotenusa.
Pero además si los miramos horizontalmente tiene como base la hipotenusa del triángulo, por lo tanto también tienen la misma área que los rectángulos en que hemos dividido el cuadrado de la hipotenusa.
Si lo ponemos en fórmulas tenemos que:
Si lo ponemos en fórmulas tenemos que:
Conocido teorema
Conocido teorema
Pues hemos visto y demostrado el teorema del cateto:
Pues hemos visto y demostrado el teorema del cateto:
"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa".
"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa".
Y además hemos dado la demostración de Papus del teorema de Pitágoras.
Y además hemos dado la demostración de Papus del teorema de Pitágoras.
(C) 2020 alumnos de matemáticas 3ºESO PIE
(C) 2020 alumnos de matemáticas 3ºESO PIE
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