Alturas de un triángulo teoría

definición

La altura de un triángulo respecto de un lado es el segmento perpendicular a dicho lado o a su prolongación y que pasa por el vértice opuesto, y por extensión, la longitud de dicho segmento.

nomenclatura y magnitudes

La intersección de la altura y el lado opuesto o prolongación en su caso se denomina «pie» de la altura.

El triángulo que tiene como sus tres vértices, los pies respectivos de las alturas se llama triángulo pedal.

Se considera también altura de un triángulo a la distancia que hay entre un lado y el vértice opuesto.

La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, la que se expresa : A=b·h/2, donde A es el área, b la base –la longitud del lado opuesto –, y h su altura correspondiente.

Esta fórmula se puede demostrar, trazando un paralelogramo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base. Se trazan una paralela a la base por el vértice opuesto a esta, y otra paralela a un lado que concurre al vértice ligado a tal altura.

características y propiedades

Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo.

La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triángulo.

Las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo. El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.

La suma de las tres alturas de todo triángulo es menor que el perímetro de este.

El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo (ver en actividad Geogebra más abajo).

Triángulo órtico

Dado un triángulo cualquiera (excluyendo un triángulo rectángulo), el 'triángulo órtico o triángulo pedal respecto del dado, es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de este, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados.

El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico (ver en la actividad Geogebra más abajo).

Las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo pedal.

En el caso de un triángulo rectángulo, el vértice del ángulo recto, que con el pie sobre la hipotenusa, a lo más, forman un segmento, en este caso no hay triángulo pedal.