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PARA ESTA ACTIVIDAD NECESITAS:
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Un papel en blanco, lápiz, goma, regla y compás.
Un papel en blanco, lápiz, goma, regla y compás.
En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultados preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso de lo que vamos a hacer, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.
En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultados preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso de lo que vamos a hacer, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.
Partimos de un triángulo cualquiera y desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento de longitud igual al lado opuesto de dicho vértice.
Partimos de un triángulo cualquiera y desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento de longitud igual al lado opuesto de dicho vértice.
En la figura están del mismo color los segmentos de igual longitud, para facilitar la comprensión.
En la figura están del mismo color los segmentos de igual longitud, para facilitar la comprensión.
El teorema de Conway asegura lo siguiente:
El teorema de Conway asegura lo siguiente:
"Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia."
"Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia."
En la siguiente actividad Geogebra podéis ver la circunferencia de Conway y comprobar moviendo los vértices del triángulo que los seis puntos siempre caen en ella.
En la siguiente actividad Geogebra podéis ver la circunferencia de Conway y comprobar moviendo los vértices del triángulo que los seis puntos siempre caen en ella.
Podéis ver una demostración del teorema de Conway en esta entrada de la magnifica página de Gaussianos.
Podéis ver una demostración del teorema de Conway en esta entrada de la magnifica página de Gaussianos.
Por si queréis dibujarla vosotros en el papel, el centro de la circunferencia lo podéis encontrar haciendo el circuncentro de tres de los puntos o el incentro del triángulo inicial, como os enseñamos en el apartado correspondiente.
Por si queréis dibujarla vosotros en el papel, el centro de la circunferencia lo podéis encontrar haciendo el circuncentro de tres de los puntos o el incentro del triángulo inicial, como os enseñamos en el apartado correspondiente.
Por último comentaros que el radio de la circunferencia de Conway es igual a la raíz cuadrada del inradio (radio de circunferencia inscrita) al cuadrado más el semiperimetro del triángulo al cuadrado.
Por último comentaros que el radio de la circunferencia de Conway es igual a la raíz cuadrada del inradio (radio de circunferencia inscrita) al cuadrado más el semiperimetro del triángulo al cuadrado.
(C) 2020 alumnos de matemáticas 3ºESO PIE
(C) 2020 alumnos de matemáticas 3ºESO PIE
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