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para esta actividad necesitas:
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Un folio en blanco, lápiz, goma de borrar, regla y compás.
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Sabemos que dos puntos en el plano determinan una única recta. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia. Vamos a buscar tres puntos:
Sabemos que dos puntos en el plano determinan una única recta. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia. Vamos a buscar tres puntos:
Dibujamos un triángulo acutángulo y dibujamos los puntos medios de cada uno de los lados (ver mediatrices o medianas de un triángulo). Como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos. Esto no es ninguna sorpresa, lo interesante comienza ahora.
Dibujamos un triángulo acutángulo y dibujamos los puntos medios de cada uno de los lados (ver mediatrices o medianas de un triángulo). Como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos. Esto no es ninguna sorpresa, lo interesante comienza ahora.
Dibujamos las tres alturas del triángulo (ver alturas de un triángulo), es decir, trazamos un segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:
Dibujamos las tres alturas del triángulo (ver alturas de un triángulo), es decir, trazamos un segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:
Curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que son exactamente la misma.
Curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que son exactamente la misma.
Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos.
Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos.
Los tres nuevos puntos también pertenecen a la circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los nueve puntos.
Los tres nuevos puntos también pertenecen a la circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los nueve puntos.
Para dibujarla vamos a buscar su centro. Podríamos usar 3 puntos de los nueve y calcular el circuncentro del triángulo que forman, pero esta circunferencia merece tener un centro calculado con más glamour.
Para dibujarla vamos a buscar su centro. Podríamos usar 3 puntos de los nueve y calcular el circuncentro del triángulo que forman, pero esta circunferencia merece tener un centro calculado con más glamour.
Si trazamos las mediatrices de los lados del triángulo se cortan en un único punto, llamado circuncentro (ver mediatrices de un triángulo). Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo inicial.
Si trazamos las mediatrices de los lados del triángulo se cortan en un único punto, llamado circuncentro (ver mediatrices de un triángulo). Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo inicial.
El centro de la circunferencia de los nueve puntos esta en la recta de Euler.
El centro de la circunferencia de los nueve puntos esta en la recta de Euler.
En esta actividad Geogebra puedes mover los vértices del triángulo y ver la circunferencia de los nueve puntos, siempre que se mantenga acutángulo.
En esta actividad Geogebra puedes mover los vértices del triángulo y ver la circunferencia de los nueve puntos, siempre que se mantenga acutángulo.
(C) 2020 Jaime Espinosa Ruiz 3ºESO PIE
(C) 2020 Jaime Espinosa Ruiz 3ºESO PIE
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