Teorema de Bottema teoría

El teorema de bottema dice:

"Si dibujamos dos cuadrados con un vértice común y trazamos el segmento que une los vértices más distantes, el punto medio de este segmento no depende de la posición del vértice que une dichos cuadrados".

Otro enunciado:

"Si sobre dos lados un triángulo se levantan sendos cuadrados, la posición del punto medio de los vértices más alejados es independiente del vértice común a los cuadrados. Además, el triángulo formado por los vértices no comunes y el punto medio es isósceles y rectángulo en él".

En la siguiente actividad Geogebra puedes cambiar el punto común (Piedra) y ver como no cambia el punto medio (Tesoro).

demostración:

Construimos un paralelogramo donde los puntos D y E son las proyecciones de los puntos B y A sobre el segmento que une los puntos donde se sitúan los cocoteros.

T es el punto medio de AB y por tanto TH es la base media del paralelogramo ABDE: TH=(BD+AE) / 2

Los triángulos azules y verdes son rectángulos e iguales. Por tanto BD=GC2 y AE=GC1.

Sustituyendo en la fórmula inicial: TH = (BD+AE) / 2 = (GC2+GC1)/2 = C1C2/2

Por lo tanto TH no depende de P.

Además EC1=GP=C2D, por lo que C1H=C2H=TH por lo que el triángulo C1C2T es isósceles y rectángulo.