Teorema de Jacob Steiner teoría

En esta actividad Geogebra puedes mover los vértices del triángulo y siempre que mantengas que es acutángulo podrás ver como se mantiene iguales las sumas de las áreas.

Tenemos los segmentos a,b,c,d,e,f y las alturas x,y,z. Aplicando Pitágoras a los seis triángulos rectángulos tenemos:

Sumamos por un lado las ecuaciones primera, tercera y quinta; por el otro la segunda, la cuarta y la sexta. Los segundos términos nos quedan igual, por lo que podemos igualar los primeros. Por último simplificamos los sumando iguales:

Completamos los cuadrados de los lados. Las igualdades que se establecen en la primera imagen, están justificadas en la segunda (recordad que en un triángulo rectángulo el cateto adyacente a un ángulo es igual a la hipotenusa por el coseno del ángulo. Por ejemplo en la primera imagen el lado del cuadrado Y2 es igual a c·cosB (c es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la altura sobre el lado a con el vértice B).