単体複体

　単体複体は元々，組合せ論的データからなり，位相空間ではない．にも関わらず，三角形分割された空間とよく表現されるのは，その幾何学的実現として位相空間が構成され，それが自然な三角形分割を持つためである．

　ここでは，頂点集合とその冪集合の部分からなる抽象単体複体を取り扱う．また，ここで紹介する単体複体は基本的に有限性を仮定する．無限の場合でも同様に議論が進む場合もあるが，扱いは有限に比べて面倒な場合が多い．　特に無限の頂点を持つ単体複体の幾何学的実現を取る際には，単体の張り合わせで構成するという解釈では定式化が難しい．

　単体複体の組合せ的ホモトピー論として有名なのはWhiteheadによる単純ホモトピー論だろう．これは，自由面と呼ばれる単体のペアを逐次消去することに基づいている．実現を考えた場合に，n単体とn-1次元の面をそれ以外の境界（ホーン）に押しつぶす変形レトラクションを意味している．よって，単純ホモトピー同値な単体複体の実現は当然ホモトピー同値になっている．この逆が成り立つかどうかというのは当然の疑問であるが，一般的には正しくない．この成立を阻むのは，基本群のクラスとして現れる「Whitehead torsion」である．よって単連結な有限単体複体においては単純ホモトピー同値と，実現のホモトピー同値は必要十分であることが示される．

　単純ホモトピー同値は，面のペアの消去に基づいていたが，頂点およびそこに紐づく単体を一気に消去する操作に基づくホモトピー論は強ホモトピー論と呼ばれている．有限単体複体の場合には，隣接同値という概念と同値であり，有限単体複体の強ホモトピー型はコアと呼ばれる部分複体によって完全に分類される．