CW-complexes

　位相空間といってしまうとその対象の範囲は広大になりすぎて扱うのに苦労する．ただあまりに限定してしまうと束縛が多すぎて身動きが取れないので，ホモロジー論やホモトピー論を扱う上でちょうどいい程度に空間を限定する．

　最もポピュラーなのが多様体だろうが，ホモトピー論では「CW複体」がよく用いられる．頂点と呼ばれる点の集合から始まり，ディスクを順次，境界で貼り付けて得られる空間である．およそ慣れ親しんでいる位相空間というのは大体このCW複体の構造を持っている。例えば球面，トーラス，射影空間などはCW複体である．CW複体に関してはおおよその位相幾何の本で扱っているが，本によって定義が微妙に違っている事がある．【中岡99】や【May99】などをみるといい．

　CW複体のホモロジーに関しては，骨格の対空間のホモロジーと連結準同型を用いて，新たに胞体鎖複体と呼ばれる鎖複体を構成することができる．このホモロジーは，特異ホモロジーと同型になる事が知られている【中岡99】．もっといえば骨格のフィルターから誘導されるホモロジースペクトル系列の収束先が特異ホモロジー群である．

　モデル圏の視線からいうとCW複体というのは，Quillen型のモデル構造におけるコファイブラント対象に相当する．そう考えるとWhiteheadの定理というのは，モデル圏の言葉でコファイブラント対象間の弱同値の性質として述べられる．