Hopf-空間

　代数学で学ぶ「群」とは，2項演算が定義をされ，結合律と単位元・逆元の存在が保証されている集合である．これらの条件は，写像で表現できる．群に位相が入り，構造写像が連続としたときに位相群が定義できる．また，結合律・単位元・逆元の可換図式をホモトピー可換にまで弱めることで，H-空間という概念に至る．代表的なH-空間としてはループ空間があり，これがホモトピー群の群構造に大きく関わっている．H-空間における結合律はホモトピー可換であるが、それを高次の結合律に拡張したのがAn-空間と呼ばれているものである．

　ループ空間の構成を少し変えて、Moore-ループ空間というものを考えられる．これは長さにあたる正の実数と，そこから空間への写像の組で，普通のループが長さ1なのに対し，Moore-ループは合成でも長さを足して繋げるというアイデアである．これにより，Moore-ループ空間はH-空間ではなく，位相モノイドとなる．

　圏論の視点からは，群は対象が１点のgroupoidと考えることもできる．故に群の分類空間も考えられ，ホモロジーやコホモロジーも考えられる．有限群のコホモロジー群については【AM04】がよい。

　詳細は【AG02】や，日本語では【西田85】やサイト「ファイバー束とホモトピー」を見るとよい．