ファイバー列

　ファイバー束で重要だったのは，被覆ホモトピー性質によるホモトピーのリフトであった．ファイブレーションとは，この性質に着目したものである．最も基本となるのは，パス空間の端点を対応させるパスファイブレーションである．ファイブレーションがホモトピー論で重要視されているのは，ホモトピー群の完全列を導くためである．また，任意の写像は，写像跡を用いて，ファイブレーションに取り換えることができる．写像fの写像跡のファイバーはホモトピーファイバーと呼ばれている．よって，fがホモトピー群の同型を導くかどうかは，このホモトピーファイバーのホモトピー群が消えているかどうかと言い換えることができる．コファイブレーションでも同様の議論ができる。こちらはコホモロジーの長い完全列との関連が強い．

　これら一連の操作は【西田85】あるいは，「ファイバー束とホモトピー」のサイトにも詳しく載っているので読んでみるといい．（コ）ファイバーなどは，図式の引き戻し（押し出し）で考えると話が見やすいかもしれない．例えば、(X→Y←*)の図式の引き戻しがファイバーであり，ホモトピー引き戻しがホモトピーファイバーである．(*→Y←*)の引き戻しは*だが，ホモトピー引き戻しはループ空間ΩYである．また，(X→Y←Y)のホモトピー引き戻しが写像跡である．一般に，ホモトピー（余）極限と通常の（余）極限が弱同値になるのはどういう状況か，一般的なモデル圏における理論は【Hir02】が詳しい．

　さらにファイブレーションを弱めて弱ファイブレーションという概念もある．これはホモトピー群の長い完全列の派生について言及したもので，弱同値とも密接に関わってくる．