公理的なホモロジー論

　（コ）ホモロジー理論とよばるホモロジーを構成する5つの重要な公理がある．それが次元公理，完全性公理，加法性公理，ホモトピー（弱同値）公理，切除（懸垂）公理である．一般（コ）ホモロジーでは次元公理や加法性公理をはずす場合もある．

　Mayの【Ma99】ではこれに加え，ホモトピー公理の変わりに弱同値公理というのも含めているが，CW複体が対象の限りではこれはホモトピー公理に含まれている．ホモロジー理論については彼の本に詳細が載っている．Mayはホモロジー理論を構成してから，その一例として特異ホモロジーを簡単に紹介している．また日本語では【河玉02】に簡単に書かれている．

　さらにCW複体に関して，整数係数のホモロジー理論は同型を除いて一意に決まる．特異ホモロジーは明らかに公理を満たすため，ほかの関手でもこの５つさえ確かめれば同列に扱い，ホモロジーと呼んで差し支えない．

　一つ面白い例としては，無限対称積のホモトピー群によって （被約）ホモロジー群を書き表せるというものである．Dold-Thomが発見した重要な事実は，無限対称積がコファイバー列を準ファイバー列に変換するというものである．このことから，完全性公理や懸垂公理が導かれる．この視点からホモロジーをとらえているのが，【AGP02】である．これには無限対称積の空間，それからDold-Thomの定理について詳しく書いてある．Dold-Thomの原論文はドイツ語なので，この本は非常に重宝する．