(コ)ホモロジー理論とよばるホモロジーを構成する5つの重要な公理がある.それが次元公理,完全性公理,加法性公理,ホモトピー(弱同値)公理,切除(懸垂)公理である.一般(コ)ホモロジーでは次元公理や加法性公理をはずす場合もある.
Mayの【Ma99】ではこれに加え,ホモトピー公理の変わりに弱同値公理というのも含めているが,CW複体が対象の限りではこれはホモトピー公理に含まれている.ホモロジー理論については彼の本に詳細が載っている.Mayはホモロジー理論を構成してから,その一例として特異ホモロジーを簡単に紹介している.また日本語では【河玉02】に簡単に書かれている.
さらにCW複体に関して,整数係数のホモロジー理論は同型を除いて一意に決まる.特異ホモロジーは明らかに公理を満たすため,ほかの関手でもこの5つさえ確かめれば同列に扱い,ホモロジーと呼んで差し支えない.
一つ面白い例としては,無限対称積のホモトピー群によって (被約)ホモロジー群を書き表せるというものである.Dold-Thomが発見した重要な事実は,無限対称積がコファイバー列を準ファイバー列に変換するというものである.このことから,完全性公理や懸垂公理が導かれる.この視点からホモロジーをとらえているのが,【AGP02】である.これには無限対称積の空間,それからDold-Thomの定理について詳しく書いてある.Dold-Thomの原論文はドイツ語なので,この本は非常に重宝する.
公理的ホモロジー
Dold-Thomの定理