位相空間のホモトピー論をある程度学んだ後に，ホモロジー代数の本を読むと，ホモトピー群をホモロジー群，弱ホモトピー同値を擬同型と読み替えるとその類似性に気づく．ループ空間や懸垂なども，chain complexでのshiftの操作を用いて，同様の議論が進む．このホモトピー論の本質を見抜き，一般の圏で公理的なホモトピー論の枠組みを打ち立てたのがD. Quillenであり，現在ではモデル構造，そしてモデル構造を備えた圏をモデル圏と呼んでいる．
モデル圏は3種類の射（写像）のクラスによって構成される．それぞれ，weak equivalence, fibration, cofibrationと呼ばれている．当然，これらは位相空間のホモトピー論で登場する，(weak) homotopy equivalence, (Hurewicz)Serre fibration, (closed) cofibrationから由来している．位相空間はweak homotopy equivalences, Serre fibrations, inclusions of relative CW complexesの指定でモデル圏となる．別の指定としては，homotopy equivalences, Hurewicz fibrations, closed cofibrationsによっても別のモデル構造をなし，こちらはStromによって示された．目的によって，適切なモデル構造を選ぶことが重要である．まだ，chain complexの圏はquasi isomorphisms, projective surjections, injectionsによって，モデル圏となりこのモデル構造がホモロジー代数の理論を制御している．
モデル圏の概念はQuillenが【Qu67】で導入したが，DwyerとSpalinski【DS95】が圏の極限などもカバーしていて読みやすい内容である．他にもGoerss, Schemmerhornによる【GS06】も良いし，本格的に学ぶならHoveyの【Ho98】とHirschhornの【Hi02】がお勧めである．