モデル圏の例

　（コ）ファイブレーションや弱同値と聞いてすぐに思いつくのは位相空間の圏である．公理的なホモトピー論の枠組みであるモデル圏も，位相空間のホモトピー論を参考に考案されたものだろうと推測している．もちろん，位相空間の圏はモデル圏になるが，その構造の指定の仕方は一意ではない．まず，弱同値としてホモトピー同値，あるいは弱ホモトピー同値を選ぶか，ファイブレーションもSerreファイブレーションやとHurewizファイブレーションといった選択肢がある．

　位相空間の他にもchain complexの圏がモデル圏になり，比較的考えやすい．【Hov98】には射影型と入射型が載っている．しかし，モノイド構造との相性を考えるとフラットモデル構造というものも考えられている【Gi04】．また、Strom型の位相空間のモデル構造に対応する，chain homotopy equivalenceを弱同値としたモデル構造もある【SV02】．

　さらに単体集合の圏のKan型のモデル構造は、位相空間のQuillen型のモデル構造とリンクするところが多い．詳しくは【Hov98】か【GJ99】を見た方がいい．

　環Rにおいて，R-加群における射影加群と入射加群が一致しているとき，Rを(準)フロベニウス環（Frobenius ring）と呼ぶ．フロベニウス環上の加群の圏は，安定同値という準同型を弱同値としてモデル圏となる．フロベニウス環上の加群のモデル構造については【Hov98】に数ページだが詳しく載っている。

　２つの環があったときに，それ上の安定加群の圏が三角圏として同値という安定加群同値なるものが考えられるが，これは森田同値，導来同値にも深く関わる．【GM03】ではより一般にFフロベニウス圏というものを考え，その局所化として安定圏を定義している．このようにフロベニウス圏から構成される三角圏を代数的三角圏と呼ぶ．コンパクト生成な代数的三角圏はDG圏の導来圏からなるという事がわかっている．

　上記で紹介したほとんどのモデル構造に共通性しているのは，（自明な）コファイブレーションのクラスがある生成系から余極限の操作を用いて構成されている点である．これを定式化したものがコファイブラント生成なモデル構造である．もちろん，コファイブラント生成ではないモデル構造もある．例えばStromによる位相圏のモデル構造である。これについてはStrom自身の【Str72】に書いてある．

　・　位相空間のcategory （Quillen-type）　【DS95】，【Hov98】

　・　位相空間のcategory （Strom-type）　【Str72】

　・　位相空間のcategory （L-type）　【CK02】

　・　位相空間のcategory （n-type）　【CEHL】

　・　位相空間のcategory （[n,m]-type）　【APR97】

　・　CGHのcategory （Quillen-type）　【Hov98】

　・　CGHのcategory （Strom-type）　　【Has75】

　・　chain complexのcategory （projective or injective-type）　【DS95】、【Hov98】

　・　chain complexのcategory （flat-type）　【Gi04】

　・　chain complexのcategory (chain homotopy type) 【SV02】

　・　simplicial setのcategory　（Kan-type）【Hov98】、【Hir02】、【Bek08】

　・　simplicial setのcategory　（Joyal-type） 【Joy08】、【Rie08】、【Lur08】

　・　bisimplicial setのcategory （Bousfield-Kan type） 【GJ99】

　・　bisimplicial setのcategory （Reedy type） 【GJ99】

　・　bisimplicial setのcategory （Moerdijk type） 【GJ99】

　・　Frobenius ring上のmoduleのcategory　【Hov98】

　・　Ding-Chen ring上のmoduleのcategory　【Gil09】

　・　spectrumのcategory　【HSS00】

　・　small categoryのcategory （Thomason-type）　【Tho80】

　・　small categoryのcategory （Joyal-type）　【Re00】

　・　acyclic categoryのcategory（Thomason-type）【Rom15】

　・　groupoidのcategory　【Hol01】、【And78】、【CGT04】

　・　equivalence relationのcategory　【Lau06】

　・　small 2-categoriesのcategory　【La07】、【WHPT】

　・　2-groupoidのcategory　【Noo08】

　・　bicategoriesのcategory　【La04】

　・　small n-fold categoryのcategory　【FP08】

　・　omega-categoryのcategory　【LMW07】

　・　simplicial groupoidのcategory　【GMO00】

　・　simplicial groupoid、2-groupoid上のpresheafのcategory　【LBK03】

　・　dg-categoryのcategory （quasi iso-type）　【Ta05】

　・　dg-categoryのcategory （Morita-type）　【Ta04】

　・　simplicial categoryのcategory　【Be04】

　・　simplicial moduleのenrichしたcategoryのcategory　【St07】

　・　C^*-algebraのenrichしたcategoryのcategory　【Del10】

　・　symmetric monoidal model category上のoperadのcategory　【BM02】

　・　operad上のmodule、algebraのcategory　【Sp01】

　・　orthogonal spectaのoperadのcategory　【Kro07】

　・　monoidal model category上の(co)module、algのcategory　【SB98】、【Sta08】

　・　monoidal model category上のcomonoid、coalgのcategory　【Sta08'】、【HS12】

　・　ex-category（parametrize category）のcategory　【MS04】

　・　flowのcategory　【Ga03】

　・　graphのcategory　【Dro12】

　１つの圏上に２つのモデル構造（W1，F1，C1）と（W2，F2，C2）があり，W1⊆W2，F1⊆F2という状況にあるとき，これらのモデル構造をミックスして、新たに（W2，F1，C）というモデル構造を構成できる【Col06】．例えば，位相空間なら，弱同値を弱ホモトピー同値，ファイブレーションをHurewizeファイブレーションとしたモデル構造が存在する．このときのコファイブラント対象はCW複体のホモトピー型を持つ空間である．

　また，【Bek08】を見ると，単体的集合にはKan型の弱同値を固定して，n回重心細分を用いてた無限個のモデル構造が入る．特にn=2のときは，小圏のThomason型モデル構造との関係が深い．一般的に弱同値を固定したとき，その圏にどんなモデル構造（つまり，ファイブレーションとコファイブレーションの指定）が考えられるかを【Bek03】で考察している．