ファイバー束

　よい性質を持つ空間として，一つには局所的にユークリッド空間になっている多様体，あるいはディスクの張り合わせであるCW複体や単体複体など，空間の和集合として表される空間である．

　もう一つには局所的に直積になっている空間，被覆空間やファイバー束である．これは局所的には，底空間BがファイバーFによって積み上げられ全空間Eをなすというイメージである．F→E→Bという具合に空間の列で表記される事が多い．ファイバー束の名著といえば、Steenrodの【St99】であるが，日本語では玉木の「ファイバー束とホモトピー」のサイトを見ると良い．

　例えば円筒（アニュラス）なんかは底空間S^1をファイバー[0,1]で積み上げたものである．とはいえ，円筒自体がS^1×[0,1]なので，この場合は局所的ではなく大域的に直積空間である．一方メビウスの帯はそれ自身直積空間ではないが，局所的に底空間S^1を[0,1]に沿って積み上げたものと見ることができる．より詳しく見ると，構造的には半ひねり（Z_2作用）が入っており，構造群という群作用も含めて考えるべきである．特にファイバーがGで構造群もGであり，その作用がGの積によって与えられている場合の主G束と呼ばれる概念が重要である．有名なのは主G束の分類定理と呼ばれるもので，低空間を固定した場合の主G束はどのようなものがあるかという問題である．これは普遍G束からの引き戻しですべて構成されるというのが，興味深い点である．

　ファイバー束F→E→Bがあるとそこからホモトピー群の完全列が作れるので，ホモトピー群の計算に有効である．また，ホモロジー群に関しても，ある条件下で，H(E) ≅ H(F)×H(B)のテンソル積と同型になる．

　ファイバー束の条件を弱めて，被覆ホモトピー性質に着目したのがファイブレーションである．さらに弱めて，ホモトピー群の完全列に着目したのが弱ファイブレーションと呼ばれている．【西田85】が日本語で読みやすい．