対空間のホモロジー

　位相空間Xの部分空間Aが指定されたペア(X,A)を対空間と呼ぶ．よく考えられるのは，AとしてXの点を指定したもので，この場合は基点付き空間と呼ばれる．ここでは対空間(X,A)に対してホモロジー群を考える．これはもとの特異鎖複体で商をとって新たな鎖複体をつくり，さらにその部分商群として定義される．H(X,Φ)=H(X)という意味で，通常の特異ホモロジー群の一般化になっている．対空間を考えとことにより，ひとつには次数を1つ下げる自然な準同型 H(X,A) → H(A) が定義できるため，これにまつわる完全性定理というものが後々有用な道具となる。完全性定理も含め，この対空間のホモロジー群には重要な性質が４つあるいは５つある。それぞれ加法性定理，ホモトピー定理，切除定理，次元定理である。Eilenbergはこれらの性質こそが，ホモロジーの本質であることを見抜いて，公理的なホモロジーを考案した．

　これらの定理については【加藤88】が，特にホモトピー定理や切除定理などの面倒な部分を懇切丁寧に証明してある．これら５つを公理として一般的にホモロジー理論を構成する方法は，【May99】にかかれている．