（余）極限

　（余）極限の概念は抽象的ではあるが，数学の議論には欠かせない．直積や直和，押し出しや引き戻し，（コ）イコライザーなどの基本的な概念はすべて圏における図式の（余）極限として定義される．また，トポロジーでは無限次元のCW複体において，骨格フィルターの余極限として元のCW複体を考える場面は多い．

　一般の圏における（余）極限は，圏における図式（つまり，ある小圏からの関手）に対して定義され，射（あるいは自然変換射）の一意性により定式化されている．任意の小圏からの関手に対して（余）極限が存在する場合，（余）極限で閉じている，あるいは（余）完備と呼ばれる．公理的なホモトピー論の枠組みであるモデル圏も，完備かつ余完備な圏において議論されるため，ホモトピー論においても（余）極限は重要な役割を果たす．モデル圏の文献である【DS95】の序論では（余）極限について扱っていてわかりやすい．日本語だと【Ma05】か【西田85】などを見るとよい．

　極限と余極限の関係は，もちろん双対という言葉でくくってしまうのが一番明快だが，これらは関手圏C^Dから元の圏Cへの関手として捉えることができる．逆に圏Cから関手圏C^Dへは，定値関手を与える関手が考えられるが，余極限はその左随伴，極限はその右随伴である．

　一般の圏での話は抽象的なので，（余）極限の理解には具体例を多く知っておくのが良いだろう．集合や位相空間はもちろんのこと，代数的な群や加群，代数などの極限の具体的構成を知っておくとイメージがわきやすい．加群などの場合には，有限ならば直和も直積も同じなのでわかりやすい．一般的に，直和と直積が同じになる条件を考えている人がいる【Iov06】．