不動点定理

　位相空間Xから自分自身への連続写像に対し，f(x)=x となる点を不動点と呼ぶ．不動点に関する研究は古くからおこなわれていて，不動点を持つのか，また持つとしたらどれぐらい持つのか，具体的な不動点を求めるアルゴリズム，連続写像の変形で不動点はどう変化するかなど様々なテーマが考えられてきた．

　このうち，最も基本的な問題は，任意の連続写像が不動点を持つ（不動点性質とばれる）ような位相空間の特徴づけである．例えば，球体やあるいは単体はこの不動点性質を持つというのが，Brouwerの不動点定理である．より一般にはコンパクトな凸空間がこの性質を満たす．Lefschetzはホモロジーを用いた写像のLefschetz数（トレース）によって，不動点の存在を探る方法を提唱した．この結果を用いると，有理ホモロジー群が自明であるようなコンパクトな多面体（ENR）は不動点性質を持つことがわかる．

　組合せ論的には，束（ラティス）に対するTarskiの不動点定理が有名である．完備束においては，すべての順序を保つ写像が不動点を持つというのが，Tarskiの不動点定理である．完備という条件が重要であり，束が不動点性質を持つ必要十分条件が完備であることらしい．

　特に経済学の分野への応用として，角谷の不動点定理が有名である．これは，空間からの部分集合への対応（multi-valued map）に対する不動点定理であるが，経済学における（ナッシュ）均衡，安定マッチング，最適反応戦略など合理的選択の概念が不動点で説明できる．