Paradoja de los gemelos

Iniciamos la serie de Relatividad sin fórmulas en esta entrada. No tiene sentido que leas este artículo sin antes leer los conceptos básicos de la serie, o no te servirá de mucho.

En la entrada anterior hablamos de una de las dos paradojas más conocidas de la relatividad general: la del corredor o del palo y el granero. Hoy vamos a hablar de otra más compleja pero más interesante, la de los gemelos. Para entenderla, espero que te quedase clara la entrada acerca de la adición de velocidades, pues hay conceptos importantes en ese artículo que aplicaremos aquí.

1. La paradoja de los gemelos

La paradoja, básicamente, es la siguiente: supongamos que hay dos gemelos idénticos. Uno de ellos decide hacer un viaje hasta el planeta (digamos) Einstenon, que está a 10 años-luz de la Tierra, y viaja a una velocidad muy grande (digamos que el 87% de la velocidad de la luz). Entonces, visto desde la Tierra, el tiempo del gemelo viajero pasa muy lentamente, de modo que, al volver, en vez de haber pasado muchos años, para él han pasado pocos y es joven, mientras que el gemelo que se quedó en la Tierra es viejo.

Pero, visto desde el sistema de referencia del gemelo viajero, es el gemelo que se queda en la Tierra el que se mueve, de modo que para él pasa el tiempo más lentamente y es él el que debería ser joven cuando vuelven a encontrarse. Cuando se miran a la cara, ¿cuál es joven y cuál es viejo? Está muy bien decir “en cada sistema de referencia, el otro es joven y yo soy viejo”, pero ¿qué pasa, que cada uno le dice al otro “te veo muy joven”?

2. La explicación relativista

Para explicar lo que está pasando realmente, utilizaremos, por supuesto, a Alberto y Ana en vez de a dos gemelos desconocidos. Ana decide hacer un viaje a Einstenon, que está a 10 años-luz de la Tierra, viajando al 87% de la velocidad de la luz. De modo que tenemos dos observadores: Alberto, que está en la Tierra y no se mueve de ella, en reposo respecto a todo lo demás excepto Ana. Y Ana, que se mueve de la Tierra hacia Einstenon en el viaje de ida, y luego se da media vuelta y vuelve de Einstenon a la Tierra.

Alberto y Ana tienen, ambos, relojes que emiten un destello luminoso cada segundo, para que Alberto pueda ver cómo pasa el tiempo de Ana y al revés.

Veamos en primer lugar lo que experimenta Ana. Para ella, la distancia entre Einstenon y la Tierra no es de 10 años-luz, es de 5 años-luz debido a la contracción de la longitud. De modo que ella, que se mueve al 87% de la velocidad de la luz, debe recorrer 5 años-luz de distancia de ida (lo cual le lleva unos 5,77 años) y lo mismo de vuelta (otros 5,77 años más o menos), de modo que el viaje total, para ella, dura 11,55 años.

Sin embargo, cuando ella mira hacia Alberto según se aleja de él, como dijimos en el artículo de adición de velocidades, el efecto Doppler relativista hace que los destellos del reloj de Alberto sean más lentos (por un lado, Alberto se mueve de modo que Ana lo ve “en cámara lenta”, como dijimos en la dilatación del tiempo y, por otro, los rayos de luz deben perseguir a Ana). De hecho, como Ana va a una velocidad bastante parecida a la de la luz, los destellos del reloj de Alberto se producen cada 3,73 segundos.

Por lo tanto, cuando Ana llega hasta Einstenon, aunque ella ha experimentado un tiempo de viaje de 5,77 años, el reloj de Alberto ha marcado 3,73 veces menos: unos 1,55 años. Pero, sin embargo, cuando Ana se da la vuelta en Einstenon y empieza a moverse hacia la Tierra, ve los destellos de Alberto acelerados, justo por lo contrario que antes: ahora ella se mueve hacia la fuente de la luz, de modo que cada destello debe recorrer menos que el anterior. Ahora, los destellos de Alberto son 3,73 veces más rápidos en vez de más lentos: se producen cada 0,27 segundos. De modo que, durante el viaje de vuelta, Ana ve a Alberto “en cámara rápida”, de modo que en vez de pasar 5,77 años, para él pasan 21,55 años.

Lo que ve Ana en el viaje de ida, el cambio de sentido y el viaje de vuelta.

Es decir, Ana hace cuentas y piensa: mi reloj ha marcado 5,77 años de ida y otros 5,77 años de vuelta, es decir, el viaje ha durado para mí 11,55 años(redondeando). El reloj de Alberto ha marcado 1,55 años en el viaje de ida y 21,55 años en el de vuelta, es decir, para Alberto han pasado 23,1 años.

Por otro lado, ¿qué ve Alberto? Él ve que Ana se aleja de él al 87% de la velocidad de la luz y debe recorrer 10 años-luz, de modo que tarda en llegar a Einstenon unos 11,55 años. Y en el viaje de vuelta tarda otros 11,55 años, es decir, que para Alberto el viaje dura un total de 23,1 años.

Pero, ¿qué observa Alberto que pasa para Ana? En el viaje de ida, Ana se aleja de él, de modo que Alberto la ve “en cámara lenta”: los destellos de Ana le llegan cada 3,73 segundos. Llegamos aquí a la clave de la paradoja, de modo que frena y lee esto despacio, porque si lo entiendes has entendido la paradoja de los gemelos:

Aunque Ana se da la vuelta al llegar a Einstenon (a los 11,55 años de partir, para Alberto), Alberto no ve inmediatamente que los destellos de Ana se aceleren. Ana se da la vuelta, y a partir de entonces sus destellos, efectivamente, se mueven hacia Alberto y están “acelerados”…¡pero esto ha ocurrido a 10 años-luz de Alberto! Él no ve el cambio instantáneamente: sólo verá el cambio cuando el primer destello enviado cuando Ana se da la vuelta le llegue a él…lo cual no ocurre hasta 10 años después de que Ana dé la vuelta: como está a 10 años-luz, el primer destello tarda 10 años en llegar a Alberto. Todos los demás destellos “ralentizados” que aún no le han llegado en el momento en el que Ana se da la vuelta, aún tienen que llegar a Alberto hasta que el primer destello “acelerado” le llegue.

De modo que Alberto no ve el tiempo de Ana “ralentizado” durante 11,55 años, sino durante 21,55 años (11,55 hasta que Ana se da la vuelta más otros 10 hasta que el primer destello “acelerado” le llega). En ese tiempo, como Ana va “en cámara lenta”, para ella habrán pasado, no 21,55 años sino 3,73 veces menos: sólo unos 5,77 años. A partir de ese momento, Alberto ve a Ana en “cámara rápida”…pero sólo la ve así durante un tiempo muy corto. Piensa que, como el primer rayo “acelerado” llega a Alberto 10 años después de que ella se diera la vuelta y en esos 10 años ella ha estado viajando hacia la Tierra (y el viaje de vuelta dura, para Alberto, 11,55 años), cuando Alberto empieza a verla “acelerada” ella está a tan sólo 1,55 años de la Tierra.

Lo que ve Alberto en el viaje de ida de Ana, el cambio de sentido y el viaje de vuelta.

Esos 1,55 años que dura la última parte del viaje, Alberto ve a Ana lanzando destellos 3,73 veces más rápidos de lo normal, de modo que para ella pasan unos 5,77 años. De modo que Alberto echa cuentas y piensa: el viaje de Ana ha durado en total 11,55 años de ida y otros 11,55 de vuelta, en total, para mí han pasado 23,1 años. Y para Ana ha durado 5,77 años “ralentizada” y otros 5,77 “acelerada”, en total, para ella han pasado 11,55 años…exactamente lo mismo que ha medido ella. ¡Todo encaja!

Para que no queden dudas, repetiré dónde está la explicación de la paradoja: Alberto está en reposo respecto a los dos planetas, y es Ana la que se da la vuelta. Ana ve el reloj de Alberto ir lento durante la mitad del tiempo, y rápido durante la otra mitad, pero Alberto no: para que él empiece a ver el reloj de Ana rápido, los rayos del reloj en el momento de que ella se dé la vuelta deben alcanzarlo, y para entonces ella ya ha recorrido parte del camino de vuelta, de modo que al final no hay duda por parte de ninguno de los dos de que ella es más joven que él.

Espero que la paradoja no haya resultado más liosa de lo que realmente es – no es fácil de explicar sin fórmulas y, de hecho, he leído muy pocas explicaciones intuitivas de por qué se produce que vayan más allá de “Ana no es un sistema inercial porque se da la vuelta en un momento determinado”. La cuestión está en que la relatividad, realmente, encaja – simplemente hay que tener en cuenta todos los “efectos raros” que produce.

En la próxima entrada, la relatividad en la realidad. ¡No nos estamos inventando fórmulas vacuas, la relatividad existe y se ha comprobado!