La ecuación de onda de Schrödinger (II)

Este artículo es la segunda parte de tres dentro de la discusión sobre la ecuación de onda de Schrödinger, dentro de la serie Cuántica sin fórmulas. Antes de seguir puedes leer la primera parte o incluso, si no lo has hecho, empezar desde el primer artículo de la serie (algo muy recomendable o vas a estar más perdido que un pulpo en un garaje).

En la primera parte hablamos acerca de cómo el genial Erwin Schrödinger propuso una formulación matemática alternativa a la matricial de Werner Heisenberg, y cómo dos razones llevaron a una gran parte de la comunidad física a preferir la mecánica ondulatoria de Schrödinger: por una parte, su mayor sencillez matemática, y por otra parte la noción de algunos físicos contrarios a la incertidumbre de Heisenberg, como Einstein y de Broglie, de que la formulación de Schrödinger evitaba ese problema conceptual (el propio Schrödinger estaba de acuerdo con ellos). Una noción, como veremos en este artículo y el siguiente, absolutamente errónea.

En esta segunda parte nos dedicaremos a filosofar un poco sobre la función de onda, haciéndonos las mismas preguntas que se hacían los físicos por entonces — si la materia está descrita por una función de onda, ¿qué oscila? ¿es posible tratar las partículas simplemente como ondas? ¿qué relación hay entre las propiedades de esa onda y las que observamos en las partículas?

El primero en tratar de dar un sentido físico a esa función de onda fue el propio Erwin Schrödinger. El físico intentó una interpretación más bien clásica (dentro de lo raro y ajeno a la intuición que era todo, por supuesto): la onda, como había dicho de Broglie, es la propia partícula –por ejemplo, el electrón. La cuestión según Schrödinger es que la masa y la carga de un electrón no están en un solo punto, sino “desparramadas” por todo el espacio. Allí donde la función de onda tiene una gran amplitud hay una gran parte de la densidad de carga y masa, y en las zonas en las que la amplitud (la “altura”) de la onda es muy pequeña hay una porción muy pequeña del electrón.

Cuando Schrödinger aplicó su ecuación al átomo de hidrógeno, como dijimos, obtuvo resultados plenamente compatibles con el modelo atómico de Niels Bohr. Su interpretación de estos resultados, por tanto, era que el electrón no estaba dando vueltas alrededor del núcleo, sino que el electrón era una especie de nube de densidad de carga y masa alrededor del núcleo. La forma de esta nube venía dada por la función de onda:

Nubes electrónicas en el átomo de hidrógeno.

La interpretación de Schrödinger tenía dos problemas fundamentales: el primero tenía que ver con la naturaleza compleja de la función de onda. La densidad de carga o de masa en una región del espacio es algo medible, pero entonces ¿por qué la función era compleja? Por supuesto, el propio Schrödinger había tratado de utilizar funciones reales para resolver matemáticamente el problema, pero no lo había logrado, y le resultaba bastante incómodo el hecho de que la función necesariamente fuese compleja.

La solución para su interpretación era simple: en vez de fijarse en la amplitud de la onda, había que observar la intensidad de la onda, que es proporcional al módulo de la amplitud elevado al cuadrado — la intensidad de la función de onda sí era un número real y medible. ¿Por qué no podía ser esa intensidad la densidad de carga o masa del electrón en cada punto? Hay “más electrón” en las zonas de mayor intensidad, y “menos” en las de menor intensidad.

Sin embargo, existía un problema más grave con su interpretación puramente ondulatoria de la función. La ecuación de onda podía aplicarse a sistemas esencialmente estáticos en el tiempo, como un átomo de hidrógeno aislado, o a sistemas dinámicos. De hecho, la ecuación daba resultados muy exactos para casi cualquier sistema físico, mientras que las velocidades fuesen pequeñas comparadas con la de la luz (los físicos ya eran conscientes de que tanto la formulación de Heisenberg como la de Schrödinger no tenían en cuenta la relatividad de Einstein). Pero cuando se estudiaba la función de onda de un electrón que chocase contra el núcleo de otro átomo, por ejemplo, la interpretación de Schrödinger chocaba con la realidad. Veamos cómo.

Antes del choque, el electrón se va acercando al núcleo “objetivo” del choque. La onda del electrón está más o menos concentrada alrededor de un punto: la interpretación de Schrödinger era que una gran parte de la carga y la masa del electrón estaban encerradas en esa región, y la densidad se iba haciendo más pequeña al alejarse del punto. Hasta aquí, todo correcto.

Pero, después del choque, la función de onda se “esparcía” en todas direcciones (aunque no necesariamente por igual en todas ellas). Es como si, de pronto, la densidad de carga y masa del electrón se hiciera mucho más pequeña y se extendiese mucho más lejos, en todas las direcciones posibles, como una clara de huevo que se extiende por una mesa. Sin embargo, cuando se observaba dónde estaba el electrón después del choque, este “desparrame” no aparecía por ningún sitio: si el electrón había salido disparado, por ejemplo, hacia la derecha, toda la carga y la masa del electrón estaban a la derecha. La interpretación del pobre Schrödinger era insostenible, pero ¿cuál era la alternativa?

La solución vendría de la mano de otro genio, el alemán Max Born. Al igual que había llegado en ayuda de Heisenberg, proporcionando su conocimiento de las matemáticas matriciales a la formulación de aquél, ahora resolvería una gran parte del problema de interpretar la función de onda de Schrödinger mediante la aplicación de otra rama de las matemáticas que haría felices a Bohr y Heisenberg, pero no a Einstein y Schrödinger: la probabilidad. Y lo haría tan sólo un año después de la publicación de los artículos de Schrödinger.

Max Born.

Born se había dado cuenta de un aspecto curioso de la ecuación de onda de Schrödinger: salvo que pasaran cosas raras, si una función ψ era una solución de la ecuación, entonces multiplicar la función por cualquier número real no suponía ningún problema. Por ejemplo, 2ψ, 7,5ψ o 300ψ también eran soluciones igualmente válidas de la misma ecuación. Esto parece algo sin importancia, pero como verás dentro de unos párrafos es una propiedad fundamental.

Por otra parte, aunque ψ era una función compleja, como bien había dicho Schrödinger el módulo al cuadrado de la función, |ψ|2, era un número real. De lo que no cabía duda es de que la intensidad de la onda no indicaba simplemente la densidad de carga o masa, porque cuando se “veía” el electrón en un experimento era posible verlo “todo” en un solo punto, como partícula, no como onda. Pero si |ψ|2 no indicaba la cantidad de carga o masa en cada punto, ¿qué indicaba?

Born combinó ambas ideas (la multiplicación por un número y lo significativo de la intensidad) para dar una interpretación probabilística de la función de onda… pero antes de describirla, un pequeño inciso que espero, pacientísimo lector, que no te resulte absurdo.

Imagina que tiras un dado de seis caras. Existen seis resultados posibles: uno para cada cara del dado. La probabilidad de que se produzca cada uno de ellos es de 1/6, naturalmente. Y la probabilidad total (es decir, la probabilidad de que salga alguna de las seis caras) es exactamente 1, puesto que siempre va a ocurrir: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Lo mismo sucede con una baraja de cartas. Si hay 100 cartas diferentes (ya sé que es una baraja muy rara), la probabilidad de que saques una carta concreta es de 1/100, y al sumarlas todas, evidentemente, resulta 1/100 sumado cien veces, es decir, 1. Sin embargo, las cartas no tienen por qué ser iguales.

Imagina una baraja nueva, que voy a llamar la baraja de Born. Tiene 100 cartas, y en ellas se muestran los retratos de físicos famosos como Einstein, Schrödinger o Newton. Pero algunos están repetidos — por ejemplo, hay cinco cartas “Einstein”, siete “Newton” y dos “Bohr”. El pobre de Broglie sólo tiene una carta, mientras que Aristarco de Samos no tiene ninguna. Te ahorro una lista de todas las demás cartas, porque no viene al caso.

En esta baraja, la probabilidad de sacar una carta al azar y ver la foto de Einstein no es 1/100, sino 5/100, mientras que Newton tiene una probabilidad de 7/100 y Aristarco 0. Pero, una vez más, la probabilidad de que salga algún científico es 1, pues todas las cartas tienen la cara de un científico impresa. Volveremos a esta baraja dentro de unos pocos párrafos, de modo que no la olvides.

Born piensa de la siguiente manera: si obtenemos la solución a la ecuación de Schrödinger en un problema determinado (como el átomo de hidrógeno) y la multiplicamos por un número elegido por nosotros exactamente de manera que |ψ|2, sumado en todos los puntos del espacio, sea exactamente 1, el problema se parece muchísimo al de la baraja o el dado.

En este caso, el cuadrado de la función de onda en todo el espacio suma un total de 1. Traducción: el electrón está en algún punto del espacio. Si calculo |ψ|2 en una pequeña región del espacio, obtendré un número menor que 1, por supuesto. Pero este número no me indica qué cantidad de carga y masa del electrón se encuentran en esa región, como decía Schrödinger, sino la probabilidad de que, si miro dónde está el electrón exactamente, se encuentre en esa región.

Es decir, supongamos que obtengo la solución de la ecuación de Schrödinger para un electrón que choca contra un núcleo atómico y la multiplico por un número para que la intensidad en el espacio entero sea exactamente 1 (algo que se denomina, por cierto, normalizar la función de onda). Ahora supongamos que divido el espacio completo en dos partes exactamente iguales, la “izquierda” y la “derecha” (da igual en qué criterios siga para hacerlo). Supongamos que la intensidad total en la parte izquierda es 0,75 y en la derecha es 0,25.

Según Schrödinger, esto significaría que un 75% de la carga y masa del electrón están “a la izquierda” y un 25% “a la derecha”, pero como hemos visto, cuando observo con un experimento adecuado si el electrón está a uno u otro lado, obtengo un resultado concreto, no una porción del electrón en cada parte.

Según Born, si hago el experimento del choque un millón de veces, 750.000 veces (un 75% de ellas) el electrón estará “a la izquierda” y 250.000 veces (un 25% de ellas) estará “a la derecha”. Pero en cada una de ese millón de veces, cuando detecte el electrón detectaré el electrón entero, no una carga o masa “esparcidas”. Desde luego, estrictamente hablando esto no ocurrirá exactamente 750.000 veces, porque es una probabilidad — sólo se cumplirá exactamente si lo hago infinitas veces, pero con un millón de ellas ya debería parecerse bastante a esa proporción.

Es posible incluso, dependiendo de la función de onda, que en ciertas zonas del espacio |ψ|2 sea exactamente igual a cero: en ese caso, según la interpretación de Born, no encontraremos jamás al electrón en esa región. La probabilidad puede llegar a ser así de extrema: si la función no tiene amplitud en algún sitio, el electrón nunca será encontrado allí. En las zonas en las que |ψ|2 es bastante parecido a 1, el electrón es encontrado muchas veces si repito el experimento. Algunos interpretan esto como “el electrón se mueve por la “nube” de la función de onda, pero pasa más tiempo en aquellos sitios en los que tiene más amplitud, de modo que lo encuentro más frecuentemente allí”, pero esto es una cuestión de gusto. En la interpretación de Born, hablar de lo que hace el electrón antes de que yo lo observe es inane.

Observemos las imágenes del principio de nuevo, pero esta vez desde el punto de vista de Born:

Fíjate en ellas. Según Born el electrón no está “extendido” por toda esa región. Cuando lo detectas como partícula, está en un punto exacto. La nube naranja de la imagen no es una nube de carga o masa, es una nube de probabilidad: si realizas el experimento de detección es mucho más probable que encuentres el electrón en las zonas brillantes, y menos probable que lo encuentres en las zonas oscuras.

En esta interpretación probabilística de la función de onda, ψ es el conjunto de toda la información que tenemos sobre el electrón, y manipulándola es posible conocer la probabilidad de que las características del electrón sean unas u otras. Por ejemplo, al calcular |ψ|2 en una región del espacio obtengo la probabilidad de que el electrón se encuentre en esa región. La función de onda en sí misma no es una entidad física con la que sea posible interaccionar en el mundo real.

De hecho, Born aplicó el mismo razonamiento al resto de las variables relacionadas con el estado del electrón: la función de onda contiene la información sobre todas ellas, y manipulándola es posible calcular la probabilidad de que la velocidad, la energía o cualquiera de las magnitudes que definen su estado tengan un intervalo de valores determinado.

Para comprender esto mejor, volvamos a la baraja de Born. La baraja es la función de onda: contiene toda la información que conocemos sobre el sistema. Las cartas que hay en ella vienen determinadas por las condiciones del sistema: por ejemplo, es posible que si mi experimento se realiza de noche, eso significa que haya 10 cartas con la cara de Einstein pero sólo 2 con la de Bohr, mientras que si es de día Aristarco recibe 20 cartas con su nombre. En términos de Born, existe un 10% de probabilidades de que, si es de noche, al sacar una carta aparezca la cara de Einstein (pues hay 10 cartas).

Hasta el momento en el que yo saque la carta (realice el experimento con el que mido la magnitud), es imposible ir más allá de la afirmación “hay un 10% de probabilidad de que salga Einstein”. En el momento en el que saco la carta y –por ejemplo– aparezca la cara de Newton, he alterado el sistema y no se puede volver a intentar con esta función de onda particular. Al medir una magnitud y determinarla –sacar la carta– la baraja ha sido alterada, la función de onda ya no es la que era: la función de onda se ha colapsado.

Si quiero volver a hacer el experimento, tengo que volver a meter la carta con las demás y barajar todas. Ese “barajar” es la preparación del experimento. Una vez hecho esto, lo que tendría, por supuesto –si todas las condiciones son las mismas de antes– sería otra baraja de Born idéntica a la anterior, y la probabilidad de que salga Einstein es de un 10%.

Con lo que básicamente eso es la ciencia en términos de la baraja: si conozco las condiciones de un sistema y qué es lo que voy a observar de él, y cómo voy a observarlo, estoy construyendo la baraja, eligiendo todas las cartas. En ese momento tengo toda la información que es posible tener sobre el sistema, salvo que lo altere de algún modo y compruebe qué carta he sacado. Cuando lo hago, la baraja ya no es la misma, con lo que consigo la información a cambio de destruir la estructura matemática que contenía esa información. Raro, ¿no?

En la interpretación de Born, esto es todo a lo que podemos aspirar en física: a establecer con qué probabilidad mediremos algo en unas condiciones determinadas. Desgraciadamente para Schrödinger, esto se parece mucho a las relaciones de indeterminación de Heisenberg (tanto, tanto que son básicamente la misma cosa, como veremos en la tercera parte de este artículo).

Para comprobar si las afirmaciones de Born tenían sentido no hacía falta más que coger un sistema determinado y realizar un experimento idéntico muchas veces, para comprobar si el número de veces que pasaba cada cosa coincidía con las predicciones probabilísticas de este físico. Ni qué decir tiene que cuando se realizaron experimentos de este estilo las predicciones de Born se cumplían al dedillo. De modo que la interpretación probabilística de Born fue aceptada por todos…

¿Todos? ¡No! Una aldea poblada por irreductibles galos… quiero decir, Schrödinger, por ejemplo, nunca aceptaría la interpretación de Born. En sus propias palabras, un par de décadas después, el creador de la ecuación de onda diría:

Debo empezar diciendo que en esta disertación me opongo, no a algunas afirmaciones concretas de la mecánica cuántica actual (década de 1950), me estoy oponiendo –podríamos decir– al conjunto, me opongo a las ideas básicas que tomaron forma hace 25 años, cuando Max Born propuso su interpretación probabilística, que fue aceptada por prácticamente todo el mundo.

La razón era, una vez más, la imbricación del proceso de observación con las matemáticas de la física. Fíjate en que según Schrödinger la función de onda describe lo que el electrón es, mientras que la interpretación de Born afirma que la función de onda contiene la información sobre lo que probablemente mediré cuando observe el electrón. Pero Schrödinger, como Einstein, se oponía a esta idea de que la realidad es algo incognoscible de manera absoluta, sino que sólo es posible describir lo que veo como sujeto:

El mundo me viene dado una vez, no uno existente y otro observado. El sujeto y el objeto son uno mismo. No puede decirse que la barrera entre ellos ha sido rota como resultado de las recientes experiencias en las ciencias físicas, pues esta barrera no existe.

Ni siquiera el propio Born consideraba la función de onda meramente como un artilugio matemático:

La pregunta sobre si las ondas son algo “real” o una función que describe y predice fenómenos de forma conveniente es sólo una cuestión de gustos. A mí personalmente me gusta considerar la función de probabilidad, incluso en el espacio tridimensional, como algo real, desde luego más que una herramienta para cálculos matemáticos [...] Hablando de forma general, ¿cómo podríamos fiarnos de las predicciones probabilísticas si éstas no parten de algo real y objetivo?

Finalmente, aunque Einstein seguía incómodo con la noción de probabilidad y la ausencia de una realidad objetiva, su postura frente a Born era bastante más moderada que la de Schrödinger. De hecho, el alemán reconocía claramente que la interpretación de Born coincidía perfectamente con los experimentos realizados. En 1940 afirmaría:

Los campos de onda de de Broglie-Schrödinger no debían interpretarse como la descripción matemática de cómo se produce un suceso realmente en el tiempo y el espacio aunque, por supuesto, se refieren a ese suceso. Más bien son una descripción matemática de lo que realmente conocemos sobre el sistema. Sirven únicamente para realizar afirmaciones estadísticas y predicciones de los resultados de todas las medidas que podemos realizar sobre el sistema.

Eso sí, ¡esto no significaba que el divino Albert se rindiese! En sus propias palabras,

No puedo evitar confesar que sólo doy una importancia transitoria a esta interpretación. Aún creo en la posibilidad de un modelo de la realidad — es decir, una teoría que representa las cosas mismas y no únicamente la probabilidad de que ocurran.

La cuestión –y lo siento si soy repetitivo, pero es una de las consecuencias más importantes de la ecuación de onda y la interpretación de Born– es que, a partir de este momento, tanto con Heisenberg como con Schrödinger (a su pesar), las matemáticas de la física no representan lo que las cosas son, sino lo que medimos de ellas.

Un electrón, en términos de las ecuaciones de Schrödinger, no “es” nada en particular. La función no es la oscilación de nada que sea posible observar en ningún modo. La función oscilante es la representación matemática de toda la información que se tiene del sistema, y para saber qué relación tiene esa función con magnitudes medibles hace falta manipularla matemáticamente para obtener predicciones probabilísticas sobre esa magnitud.

Es decir, la respuesta de Born a “¿qué está oscilando” es más bien difusa: el electrón es una oscilación. Esta oscilación viene definida por una función matemática que no se puede experimentar de ningún modo en el mundo real, sino sólo manipular para obtener resultados que sí son medibles. Ya sé que no responde aún a la pregunta “del millón”, pero al menos nos da una pista — la intensidad de la oscilación indica la probabilidad de encontrar al electrón en un sitio. No es sorprendente que algunos, como Einstein, pensasen que nos falta algo por descubrir si a lo más que podemos llegar es a eso.

Desde luego, como he dicho antes, esa probabilidad puede ser del 0% o incluso casi del 100%. Pero, por un lado, el concepto de un Universo en el que un electrón tiene un 99% de probabilidades de ir más lento que un valor determinado es radicalmente distinto de un Universo en el que el electrón tiene una velocidad determinada.

Y por otro, cuando establezco un experimento en el que una probabilidad es enorme, como contrapartida la predicción de Born para otras magnitudes relacionadas se convierte en minúscula — una vez más, cuando miro algo fijamente y lo veo muy nítidamente otras cosas, inevitablemente, por mucho que lo intente, se vuelven borrosas. ¿Te suena esto? Por supuesto, es la misma conclusión de Heisenberg en sus relaciones de incertidumbre, y en la tercera parte de este artículo hablaremos precisamente de cómo se interpretan esas relaciones en términos de la función de onda de Schrödinger y la interpretación probabilística de Born.