El pozo de potencial infinito

En la última entrega tripartita de la serie Cuántica sin fórmulas hablamos acerca de la ecuación de onda de Schrödinger: su elaboración, el significado de la función de onda y su relación con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ni qué decir tiene que te recomiendo que leas aquellos artículos antes de seguir con éste, pues me baso en conceptos explicados allí y vamos a aplicar cosas generales mencionadas en ellos a problemas concretos. Mejor aún, si no conocías esta serie hasta ahora, es que empieces por el primer artículo y poco a poco avances hasta éste — la cuántica ya es puñetera por sí misma, como para encima no empezar desde el principio.

Como recordarás, la mecánica ondulatoria de Schrödinger tuvo mejor aceptación general que la matricial de Heisenberg por su mayor facilidad de visualización. Esta característica es especialmente útil para nosotros en esta serie — sería casi imposible analizar casos concretos mediante la formulación de matrices sin utilizar fórmulas, pero las ondas son fáciles de representar gráficamente y, tras haber leído la entrega anterior de la serie, deberías ser capaz de interpretar los resultados gráficos para comprender lo que significan físicamente (veremos si es así o no).

Este artículo, como todos los de esta serie, es denso y abstracto. Aunque he dejado las neuronas tratando de hacerlo lo más accesible que puedo, requiere un mayor esfuerzo que otros de El Tamiz, y es posible que tengas que darle una pasada, dejarlo estar y volver a él al cabo de un tiempo. No te desanimes si al principio te resulta difícil (si te parece simplemente infumable, lo siento).

El objetivo hoy es doble: por un lado, vamos a descubrir cosas nuevas sobre el comportamiento del mundo a nuestro alrededor; sin embargo, me parece más importante aún otra cosa. Soy consciente de que aprender de cuántica a veces desmoraliza, y parece que piensas y lees mucho y al final te quedas tan confundido como al principio. Mi objetivo en esta entrada es demostrarte –si has leído el resto de la serie, claro– que sabes más de lo que piensas. Hoy vamos a poner en acción lo que hemos aprendido sobre el principio de incertibumbre, las hipótesis de Planck y de Broglie, la interpretación de la función de onda, etc., para aplicar todo eso a un caso concreto. Estudiaremos el pozo de potencial infinito.

Para empezar, vamos a trabajar en una sola dimensión para no liar las cosas, como hicieron muchos físicos de la época — sí, no es realista, pero pueden obtenerse muchísimas conclusiones trabajando en una dimensión que son aplicables al mundo tridimensional, y es mucho más fácil ver las cosas en movimientos en una dimensión. De modo que supongamos que tenemos una partícula (da igual la que sea, pero imaginemos que se trata de un electrón) que puede moverse –en principio libremente– a lo largo de una recta infinitamente larga.

Naturalmente, si no existe nada más que ese electrón la cosa no tiene gracia: la ecuación de Schrödinger resulta útil para saber qué le sucede a ese electrón en situaciones determinadas. De modo que el primer caso que quiero que estudiemos juntos es el de un electrón que se encuentra encerrado en una determinada región del espacio: a ambos lados de esa región existen fuerzas tremendas que no le permiten ir más allá, como si fueran las paredes de una caja infinitamente resistente, o un pozo infinitamente profundo. De este modo estamos absoluta y totalmente seguros de que –por definición– el electrón va a estar en esa región del espacio. Esta simple condición (que estamos seguros de que el electrón está en esa región de la recta) tiene consecuencias inmediatas (y estoy seguro de que algunas puedes adelantarlas tú mismo).

En términos de energías, esta situación puede representarse de la siguiente manera — en el eje x se encuentra la recta sobre la que se mueve el electrón, que puede hacerlo a derecha o izquierda; en el eje y representamos la energía que debe tener el electrón para llegar a cada punto. Si el electrón se encuentra confinado en una región de la que es absoluta y totalmente imposible salir, eso es lo mismo que decir que fuera de esa región la energía requerida es infinita. Mi explicación es algo pobre pero si observas el dibujo creo que entenderás lo que quiero decir (todas las ilustraciones estáticas de hoy están hechas por Geli, afortunadamente para vosotros, que no tenéis que sufrir mis dibujos en papel):

En los libros de física en los que se describe este problema suele hablarse del potencial en vez de la energía potencial, pero ambos son proporcionales y no quiero meterme en disquisiciones entre uno y otra, de modo que –aunque sea algo heterodoxo– dibujaré siempre la energía necesaria para estar en un punto en el eje y, y no el potencial (pero seguiré refiriéndome al pozo como un pozo de potencial de vez en cuando, porque así lo llama todo el mundo). Como puedes ver en el dibujo de arriba, para abandonar la región central el electrón necesitaría una energía infinita.

¿Cómo se resuelve este problema utilizando la física clásica? Fácilmente, no hay más que emplear la mecánica newtoniana: el electrón tendrá una velocidad inicial determinada, nula o no. Si es nula, se quedará para siempre en el punto en el que empezó; si no es nula, se moverá hacia una pared, rebotará en ella, se dirigirá hacia la otra pared, rebotará en ella, y así infinitamente. Si va muy rápido rebotará muchas veces por segundo, si va despacio rebotará cada mucho tiempo (y si no se mueve, evidentemente, no rebotará nunca). Pero ¿qué resultado se obtiene empleando la ecuación de Schrödinger?

Al resolver la ecuación de Schrödinger para este “pozo infinitamente profundo”, el resultado es como siempre la función de onda del electrón confinado en él. Esta función de onda tiene varias peculiaridades que son consecuencia de las condiciones que hemos establecido y de la naturaleza cuántica de la materia, y es una versión distinta de la visión clásica: no hay un electrón como una canica que rebota entre pared y pared, sino una onda que se refleja entre pared y pared. Y una onda que se refleja entre dos lugares fijos es necesariamente un tipo de onda especial: una onda estacionaria.

Por si no estás familiarizado con las ondas estacionarias, el ejemplo más intuitivo es el de la cuerda de una guitarra. Cuando la tocas, se produce una onda que llega a un extremo que está fijo (pues la cuerda está atada a un punto determinado), se refleja y llega al otro extremo, se refleja y vuelve, y así sucesivamente. Puesto que va y viene por la cuerda, la onda interfiere consigo misma y produce algo así:

Por cierto, esta animación te permite ver cómo oscila la onda, pero en el resto de ilustraciones del artículo no vamos a mostrar animaciones, de modo que tendrás que imaginarte cómo oscilaría la onda en cada caso (entre los puntos más alto y más bajo de la onda dibujada en cada lugar).

En el caso del electrón pasa algo parecido a la cuerda de guitarra: puesto que es una onda que “rebota” (se refleja) de un lado a otro entre ambas “paredes”, produce una onda estacionaria de materia. Como digo, esto no es demasiado sorprendente por sí mismo, puesto que hemos forzado que sea así al impedir al electrón abandonar este tramo de recta entre las “paredes”.

Lo extraño empieza a aparecer cuando nos fijamos en las propiedades de las ondas estacionarias. Para empezar, una onda estacionaria entre dos puntos determinados no puede tener cualquier longitud de onda. En el ejemplo de la cuerda de guitarra, o del electrón en este pozo infinito, los extremos de la onda (en los extremos de la cuerda de guitarra, o en las “paredes” del pozo) están fijos con amplitud nula. Como consecuencia, una onda estacionaria de longitud de onda exactamente igual que la longitud del pozo –o la cuerda– cabe perfectamente. Aquí puedes ver un dibujo en el que se muestra la amplitud de la onda en cada punto:

Una onda estacionaria el doble de larga que la anterior también cabe bien:

Pero ahora llegamos a una de las claves de este problema, y la consecuencia inevitable de la naturaleza ondulatoria del electrón dentro del pozo: cualquier onda más larga que la del dibujo no cabe dentro del pozo. Uno de sus extremos no estaría fijo con amplitud nula.

Ésa es la razón de que dos cuerdas de longitudes diferentes, si tienen la misma tensión, suenen con notas diferentes: la más larga permite ondas más largas (sonidos más graves), mientras que la más corta sólo permite que existan ondas estacionarias más cortas (sonidos más agudos). En el caso de las cuerdas la cosa se complica cuando se tiene en cuenta la tensión de la cuerda (a mayor tensión mayor velocidad de propagación y mayor frecuencia, aunque la longitud de onda se mantenga constante), pero espero que el ejemplo de las cuerdas de guitarra te ayude a entender el del electrón.

Observa de nuevo la onda del dibujo de arriba, que es la onda estacionaria más larga que puede existir en ese pozo de potencial (y que suele llamarse “estado fundamental”). Traduzcamos eso utilizando la hipótesis de de Broglie: es lo mismo decir que no puede haber longitudes de onda más largas que decir que no puede haber velocidades más lentas. Esa longitud de onda, que depende de la longitud del pozo, nos da la mínima velocidad que puede tener un electrón que está dentro del pozo.

Podemos llegar a esta conclusión también a través del principio de indeterminación de Heisenberg: estamos absolutamente seguros de que el electrón se encuentra dentro de esa región del espacio, luego no podemos saber con demasiada exactitud su velocidad. El electrón se mueve dentro del pozo a derecha o izquierda, pero la onda obtenida por Schrödinger, al ser estacionaria, es la suma de las dos. No nos dice hacia dónde se mueve el electrón en un momento determinado, a izquierda o derecha. De modo que si la velocidad predicha por la función de onda fuera arbitrariamente pequeña (y tuviera un valor v), estaríamos seguros de que el electrón tiene una velocidad nula con un margen de error de ±v arbitrariamente pequeño, lo cual incumpliría el principio de incertidumbre. No podemos a la vez encerrar al electrón y pararlo.

De hecho, pensemos en lo que sucede si hacemos el pozo más y más estrecho: la onda del estado fundamental se haría más y más corta, con lo que la velocidad mínima del electrón se haría más y más grande. Lo mismo sucedería, pero al revés, si hacemos el pozo más ancho — permitiríamos velocidades menores y por lo tanto una mayor precisión límite en el conocimiento de la velocidad del estado fundamental, pero al mismo tiempo sabríamos peor dónde se encuentra el electrón, que puede estar en cualquier parte del pozo.

De modo que puedes ver cómo este simple estado fundamental es contrario a la física clásica: una de las soluciones clásicas del problema (que el electrón esté quieto en un sitio y punto final) no es posible de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. El electrón no puede estar quieto. De hecho, si hablamos en términos de energías, el electrón debe tener una energía mínima, que depende de la anchura del pozo — la energía del estado fundamental. Por mucho que intentásemos extraer energía del electrón, no podríamos quitarle esa energía mínima.

Y esa energía mínima es proporcional a la frecuencia de la onda (que depende de la longitud de la onda) — esa energía mínima es la de la hipótesis de Planck. Es el tamaño del “escalón de energía” del que hablamos en aquel artículo. Pero la relación entre la hipótesis de Planck y este pozo de potencial no acaba aquí, como veremos en unos párrafos.

Pero sigamos analizando el dibujo del estado fundamental, que vuelvo a reproducir para que no tengas que andar arriba y abajo para verlo. Como recordarás de la función de onda, la amplitud de la onda (la separación de la horizontal en ese dibujo) nos indica la probabilidad de encontrar el electrón en un lugar o en otro. Cuando el electrón se mueve lo más lento que es posible –está en el estado fundamental– es muy probable que lo encontremos cerca del centro del pozo, y poco probable que lo encontremos cerca de un extremo, aunque puede estar en principio en cualquier punto del pozo. Todo esto es, creo, bastante intuitivo.

Hemos hablado del estado fundamental, que es el de la onda más larga que cabe dentro del pozo, pero ¿qué hay de ondas más cortas? Existen infinitas ondas estacionarias que pueden existir dentro de este pozo. La siguiente más larga después de la del estado fundamental la hemos mostrado arriba, pero quiero volver a mostrártela para analizarla:

Varias conclusiones sobre esto. Para empezar, la longitud de esta onda es la mitad que la de la anterior — no existe ninguna onda intermedia entre ambas que tenga sus extremos fijos en los lados del pozo. Lo mismo sucede por lo tanto con la energía: no es posible que el electrón tenga una energía intermedia entre la del estado fundamental y éste. Ese escalón de energía es justo la misma energía que tenía el estado fundamental, y cumple por lo tanto una vez más la hipótesis de Planck.

Además, esta solución de la ecuación –que es la de un electrón que se mueve más rápido que el anterior– tiene una peculiaridad muy curiosa. Como puedes ver, existe la misma probabilidad de encontrar el electrón en la parte izquierda del pozo que en la derecha, lo cual es lógico… pero es absolutamente imposible encontrar este electrón en el punto medio del pozo. ¿No es raro? En física clásica, un electrón con una velocidad determinada pasa por todos los puntos del pozo dos veces en su recorrido completo del pozo, y pasa el mismo tiempo en cualquier región del pozo… pero en cuántica no. La ecuación predice dónde encontraremos el electrón en el momento de mirarlo, y la conclusión –clara pero extraña– es que nunca jamás lo encontraremos en el punto medio.

De hecho, lo que nos indica la amplitud de esa onda es que lo más probable es que encontremos el electrón en el punto medio de una de las dos mitades. ¿Por qué? ¿Cómo es posible que la solución elija esos puntos como especiales? Es posible que seas capaz de responder tú mismo, pero si no puedes no te preocupes — como he dicho antes en la serie, descartar todo el “equipaje mental” de la física clásica es difícil.

La razón es que el electrón es una onda que interfiere consigo misma. Al ser una onda estacionaria, resultado de la interferencia del “electrón que va hacia la derecha” con el “electrón que va hacia la izquierda”, en algunos puntos se produce una interferencia destructiva — la onda del “electrón que va hacia la derecha” está en su punto más alto por encima de la horizontal, mientras que la del “electrón que va hacia la izquierda” está en su punto más bajo por debajo de la horitontal… ¡y la suma es nula en ese punto!

Puede que estés pensando algo así: ¿Me estás diciendo, estimado pero lunático Pedro, que el electrón que va interfiere consigo mismo a través del tiempo? ¿Pero qué clase de mundo es éste?

Mi respuesta a las dos preguntas no puede ser otra que ésta: Sí, y Un mundo muy raro. Hablaremos más sobre la interferencia de un electrón consigo mismo en otros lugares y momentos en un artículo posterior de la serie, pero el resultado de Schrödinger no deja lugar a dudas — la onda que viene interfiere con la que vuelve de modo que hay lugares en los que el electrón no se encuentra nunca cuando lo miras. El electrón interfiere consigo mismo.

Por cierto, aunque sea una cuestión de pura terminología, ese punto en el que la amplitud de la onda es nula se denomina un nodo. Si vuelves a mirar la primera onda estacionaria dibujada, la que está animada y se ve oscilar, puedes ver que tiene cinco nodos (dos en los extremos y tres entre ellos). Si te fijas en la onda del estado fundamental, tiene dos nodos (en los extremos). La onda que hemos analizado ahora tiene tres nodos (dos en los extremos y uno justo en el centro del pozo).

Cada una de estas ondas estacionarias que “caben” dentro del pozo con sus extremos fijos se denomina un modo normal de vibración. Como he dicho, hay infinitos puesto que el límite se encuentra en una longitud de onda máxima –la del estado fundamental–, pero puede haber ondas infinitamente cortas dentro, con tropecientos nodos. Sólo voy a analizar el siguiente y extraer conclusiones generales. Después del de tres nodos, el modo siguiente es el de cuatro nodos:

Como puedes ver, es un electrón más rápido aún que los anteriores, con más energía (un “escalón” más que el anterior), y tiene una vez más lugares en los que nunca lo encontraremos debido a su interferencia consigo mismo. También puedes ver que hay varios lugares en los que la probabilidad de encontrarlo es máxima: en el estado fundamental había un lugar así (el centro del pozo) con una probabilidad muchísimo mayor que en cualquier otro sitio, en el siguiente modo normal había dos (los centros de las dos mitades) pero la diferencia de probabilidad era algo menor, y aquí hay tres (el centro del pozo y un lugar de cada mitad), pero la diferencia es aún menor.

De modo que, si seguimos añadiendo nodos y “acelerando” el electrón, tendríamos muchísimos puntos de probabilidad máxima que se la repartirían muy bien, y sería mucho más difícil predecir dónde va a estar el electrón. También habría muchísimos nodos en los que no podríamos encontrarlo jamás, lo cual es bastante extraño — la cosa se vuelve muy borrosa según el electrón va más y más rápido.

Puede parecer que esto no tiene que ver con la vida real porque es un sistema unidimensional y además establecemos una condición arbitraria — que el electrón no puede escapar de esa región. Es cierto que ambas cosas son abstracciones, pero podemos establecer similitudes con algunos sistemas reales y veremos cómo varias de las cosas que hemos mencionado a lo largo de la serie (además de lo que hemos dicho ya en este artículo) se corroboran una vez más, y algunas incluso se justifican.

Imagina que el “pozo” no es en una dimensión sino en tres, y que el responsable de esa energía es el núcleo del átomo, que atrae al electrón de modo que no puede escapar de él. En la realidad esa energía necesaria para escapar no es infinita (y hablaremos de pozos finitos en el próximo artículo de la serie), pero podemos ya ver por qué algunas cosas son como son.

Si recuerdas el modelo de Bohr para el átomo, decía que los electrones en el átomo sólo pueden tener unas energías determinadas. Esas energías son exactamente las energías de los modos normales de nuestro pozo — no puede haber electrones estables dentro del átomo con energías intermedias. Un electrón puede pasar de un modo normal a otro (por ejemplo, del de tres nodos al de dos) y emitir un fotón cuya energía es la diferencia entre ambos “escalones energéticos”. Todo encaja, incluso aunque esto sea una aproximación idealizada.

Pero es que hay más: imagina que no se trata de un electrón, sino de un átomo en el interior de un cristal. Una vez más, las fuerzas que mantienen al átomo del cristal en la región en la que se encuentra no son infinitamente intensas como en nuestro pozo, pero es una abstracción útil para pensar en el problema. Imagina el átomo vibrando dentro del cristal debido a su temperatura (cuanto más caliente, más rápido vibra). En vez de hablar de temperatura, podríamos hablar de “modo normal” y el número de nodos que tiene. Si está muy caliente podría tener diez, un poco más frío cinco, más frío tres, dos…

Pero la mínima energía de oscilación del átomo en el cristal es la del estado fundamental con sus dos nodos. Ni por radiación ni por ningún otro método podré conseguir que el átomo vibre más lentamente que en el estado fundamental — es imposible quitarle toda la energía de vibración al átomo, porque siempre tiene una “energía residual”. Esa energía se denomina energía del punto cero –del alemán Nullpunktenergie, propuesto por Einstein y Stern–, y es una consecuencia inevitable de la naturaleza ondulatoria de la materia.

Espero que, después de todo este rollo, tu moral haya subido unos cuantos enteros y veas que todos los artículos anteriores, aunque simples comparados con un libro de texto “de verdad” sobre cuántica, sí te proporcionan un conocimiento básico del comportamiento de la materia y te permiten analizar sistemas físicos para extraer conclusiones sobre ellos, algunas de ellas muy raras.

En el siguiente artículo de la serie estudiaremos un pozo de potencial parecido a éste pero algo más complejo, y con conclusiones también extrañas — un pozo finito.