Ley de Gauss para el campo eléctrico

En el artículo introductorio a esta mini-serie sobre las cuatro ecuaciones de Maxwell hablamos sobre su contexto histórico y el propio James Clerk Maxwell. Hoy empezamos a desgranar las ecuaciones en sí, empezando con la primera de ellas, la Ley de Gauss para el campo eléctrico.

Como hicimos en la introducción general, lo mejor es empezar con todas las cartas sobre la mesa, con lo que aquí tienes la ecuación en su forma diferencial, algo así como su forma “microscópica” y mi favorita:

Pero ¿qué diablos significa esto físicamente? A eso dedicaremos esta entrada, claro, de modo que cuando termines y mires la ecuación de nuevo, que sea con otros ojos.

Antes de nada, el nombre de esta primera ecuación me parece injusto. Se trata de la aplicación de una idea más básica mediante un teorema descubierto por primera vez por Joseph Louis Lagrange en 1762 y, posteriormente y de forma independiente, por Karl Friedrich Gauss en 1813. De modo que, aunque el mérito del teorema sea de Gauss, el teorema se aplica a algo más profundo y básico, sin lo que esta ley estaría vacía de contenido físico… y, sin embargo, no suele mencionarse aquí el nombre del científico que descubrió esa idea original, Charles-Augustin de Coulomb. La idea básica es precisamente la Ley de Coulomb.

Esa ley más fundamental, sin la cual no existiría la de Gauss, ha tenido ya un artículo propio en El Tamiz, con lo que no voy aquí a detenerme en ella, pero básicamente afirma que dos cargas eléctricas se atraen o repelen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

A pesar de que la Ley de Gauss es más sofisticada que la de Coulomb, y que se aplica a un caso más general que la del francés –estrictamente hablando, la Ley de Coulomb sirve para cargas que no se están moviendo unas respecto a otras–, se trata de una evolución de la Ley de Coulomb junto con la de Lorentz, y no está de más recordar a Charles-Augustin aquí. Tal vez un nombre más justo sería el de Ley de Coulomb-Gauss, pero me parece que a estas alturas no hay nada que hacer.

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) y Karl Friedrich Gauss (1777-1855).

En cualquier caso, desgranemos el lenguaje matemático de la ecuación de arriba para comprender su significado físico.

A la izquierda del igual tenemos ∇·E, que parece raro si no sabes de estas cosas pero no lo es tanto. E es el símbolo para el campo eléctrico, una magnitud física que da una idea de la intensidad de la fuerza eléctrica (de atracción o repulsión) que sufriría una carga situada en un lugar determinado. Desde luego, cuando lleguemos a este concepto en el bloque correspondiente de Electricidad hablaremos de él de un modo más riguroso, pero quiero dar algunas pinceladas sobre lo que significa el campo eléctrico.

El campo eléctrico es una magnitud vectorial, es decir, es una flecha: su dirección nos dice hacia dónde sería empujada una carga eléctrica positiva si la colocásemos en ese punto –una negativa sufriría el tirón en sentido contrario–. Además de dirección, también tiene intensidad (que suele representarse mediante la longitud de la flecha), que nos indica cuán intensamente sería empujada esa carga eléctrica. A veces, en vez de representar el campo eléctrico como flechitas en el espacio, se dibujan las líneas de campo eléctrico, en las que en vez de emplear la longitud de la flecha para indicar la intensidad del campo, se utiliza la densidad de líneas — muchas líneas juntas indican un campo muy intenso, y líneas muy separadas uno más débil.

Lo mejor es verlo con un ejemplo. Las líneas de campo eléctrico creadas por un protón son algo así:

Las líneas “nacen” en el protón y “se alejan” de él, lo que significa que una carga positiva colocada en cualquier sitio –por ejemplo, otro protón– se alejaría de nuestro protón al ser repelido por el campo eléctrico creado por él. Además, y aquí hay algo más de sutileza, si te fijas en esas líneas, están más cerca unas de otras al principio, pero según nos alejamos del protón, divergen unas de otras. Como dijimos antes, esta representación indica que, cuanto más cerca las líneas, más intenso el campo, y cuanto más alejadas menos intenso: en nuestro dibujo, el campo eléctrico (y con él la fuerza ejercida sobre otra carga) es tanto mayor cuanto más cerca estamos del protón, y tanto más débil cuanto más lejos. Sin embargo, las líneas nunca “mueren”, es decir, no tienen final, sino que siguen hasta el infinito.

Una vez más o menos claro lo que es E, vayamos con el misterioso ∇·E. Ese símbolo triangular aparentemente esotérico se llama nabla, el nombre griego de un arpa hebrea de forma similar al símbolo. Se trata de un operador matemático que puede tomar parte en diversas operaciones vectoriales, y de hecho aparecerá de nuevo en todas las ecuaciones de Maxwell, de modo que espero que cuando terminemos esta mini-serie se haya convertido ya en un viejo conocido. Nabla es un operador matemático muy versátil, que puede aplicarse a números normales y corrientes (como la temperatura en distintos puntos de una habitación) o a vectores (como nuestro famoso campo eléctrico), y es capaz de proporcionar información muy interesante sobre ellos.

No vamos a entrar aquí a estudiar en detalle el operador nabla, pero en esta ecuación vemos uno de sus usos típicos: al aplicarlo de este modo a un vector, como el campo eléctrico, ∇·E se lee como “divergencia de E”, y nos proporciona información sobre el vector E. Pero ¿qué información? La divergencia de un campo vectorial cualquiera, como por ejemplo E, nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de líneas. Podríamos haber hecho lo mismo con un vector diferente que tenga un valor en todas partes pero que no sea el campo eléctrico, como la velocidad del agua en una bañera en cualquier punto del agua. De hecho, si tienes un poco de paciencia, hagamos precisamente eso, ya que el campo eléctrico no lo podemos ver, pero el agua en movimiento sí — haremos algunas trampichuelas, pero creo que será más fácil visualizarlo de este modo.

Imagina que tenemos una bañera llena de agua, y que podemos conocer matemáticamente la velocidad de cada gota de agua en la bañera con un vector V, con lo que podríamos dibujar líneas de campo de velocidad, como hicimos antes con el protón y el campo eléctrico, que nos dijesen gráficamente hacia dónde se mueve el agua en cada punto de la bañera, y cómo de rápido se mueve (cuanto más juntas las líneas, más rápido).

Al calcular la divergencia de V, ∇·V, como al calcular la de cualquier vector, sólo pueden pasar una de tres cosas:

1. Si ∇·V = 0, eso significa que ninguna línea de campo “muere” en el entorno de este punto y ninguna línea de campo “nace”. Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

Por ejemplo, fíjate en este dibujo del agua de la bañera y en la pequeña región redondeada en rojo:

∇·V en ese punto es, naturalmente, 0, ya que ninguna línea “nace” ni “muere” allí. Dicho en términos del agua, toda el agua que entra en ese círculo sale otra vez de él, y toda el agua que sale del círculo entró antes en él. Es más, si has comprendido este primer caso, verás que la divergencia de V no es cero sólo en la región roja: es cero en cualquier sitio de la bañera. Las líneas no “nacen” ni “mueren” en ninguna parte, luego la divergencia nunca deja de ser nula.

2. Si ∇·V > 0 –si la divergencia es positiva–, eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, eso significa que del entorno del punto (del círculo rojo) salen más líneas de las que entraron. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas “nacen”, es decir, más intenso es el flujo de agua saliendo del círculo rojo.

Claro, en nuestra bañera de arriba, con el agua simplemente dando vueltas, esto no sucedía en ningún sitio. Pero observa este otro caso, en el que tenemos un grifo abierto que añade agua a la bañera en un punto determinado:

Ninguna línea entra en el círculo rojo, pero salen varias: la divergencia es positiva. Desde luego, puedes estar arqueando la ceja ante esta trampa: “¡Un momento!”, dirás. “Si eso es un grifo mediante el que llenamos la bañera, en el círculo rojo sí que entra agua, a través de la tubería, y luego sale por el otro lado… ¡no está apareciendo agua de la nada!”. Totalmente cierto: como decía antes, hacemos alguna trampichuela. Puedes pensarlo de dos maneras; si estamos estudiando únicamente el espacio que ocupa la bañera, y para nosotros el “universo” es sólo la bañera, entonces el grifo sí es una fuente de agua que antes no estaba ahí.

Otra manera de verlo es ésta: supón que no es un grifo. El agua está inicialmente en reposo (no hay líneas de ningún tipo), y metemos de golpe un bloque de cemento en el centro de la bañera. Como consecuencia, el agua que ha sido desplazada por el bloque de cemento se aleja de donde se encontraba: en la región que ocupa ahora el bloque ha habido una divergencia positiva, ya que no entró agua, pero sí salió agua. De cualquiera de las dos maneras, el concepto es el mismo: divergencia positiva significa que salen más líneas de las que entran. Y, finalmente:

3. Si ∇·V < 0 –si la divergencia es negativa–, eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen. Una vez más, cuanto más pequeño sea el número negativo, más líneas “mueren”, es decir, más intenso es el flujo entrante.

En el caso de la bañera, esto sucedería si ponemos un desagüe por el que desaparece agua, o si quitamos el bloque de cemento de antes y el agua fluye hacia dentro para rellenar el hueco:

Puedes incluso imaginar un caso compuesto –que no voy a dibujar–: una bañera con un grifo y un desagüe, de modo que en algunos puntos la divergencia sea positiva, en otros negativa y en otros, nula. Lo importante, aunque me repita, es que la divergencia nos indica dónde nacen y mueren –y con qué intensidad– las líneas de campo. De modo que ya sabes, de forma cualitativa, lo que significa la primera mitad de la ecuación de Maxwell de hoy: ∇·E = algo nos informa de dónde nacen y mueren las líneas del campo eléctrico. Si ese “algo” es positivo, nacerán, si es negativo morirán, y si es cero, no pasará ni una cosa ni la otra, es decir, las líneas atravesarán el entorno del punto saliendo tal cual entraron.

Pero ¿qué es ese “algo” a la derecha de la ecuación, ese ρ/ε0? Afortunadamente, la respuesta a esta pregunta es bastante más sencilla que la anterior.

ρ, la letra griega rho, representa aquí la densidad de carga eléctrica: es una medida de cuánta carga eléctrica positiva o negativa se encuentra en el círculo rojo que rodea nuestro punto. Cuanto mayor sea ρ, más carga eléctrica se acumula alrededor del punto (si es positiva, más carga positiva, si es negativa, más carga negativa).

ε0, la letra griega epsilon con el subíndice 0 (el cerito pequeño a la derecha) recibe los nombres equivalentes de constante eléctrica o permitividad eléctrica del vacío. A mí me gusta mucho más la primera que la segunda, de modo que así me referiré a esta constante en este artículo.

No voy a entrar aquí a discutir en profundidad el significado físico de ese número: es una constante física, como la de la gravedad o la velocidad de la luz, y su valor en el Sistema Internacional de Unidades es de unos 8,85·10-12 A2·s4·kg-1·m-3; aunque el valor es lo de menos ahora mismo, quiero dejarlo aquí para que veas que es un número concreto. La constante eléctrica nos da una medida de la relación numérica entre carga y fuerza eléctrica, pero en lo que a nosotros respecta en este artículo, lo esencial es comprender que este valor no varía jamás, es una constante universal; puedes pensar en ella como en una propiedad del Universo que define su comportamiento.

De modo que, ignorando ε0, que siempre vale lo mismo, ¿qué factores variables existen en la ecuación? Dos: la densidad de carga eléctrica y la divergencia del campo eléctrico. Pero ya hemos visto antes que a la divergencia pueden pasarle básicamente tres cosas; ¿qué significa esto en términos de carga y campo?Repitamos los tres casos anteriores pero mirando nuestra ecuación, que muestro aqui de nuevo para que la tengas delante:

1. Si en el punto que estamos mirando no hay cargas de ningún tipo, es decir, ρ = 0, entonces la divergencia del campo será cero, ∇·E = 0. Dicho con otras palabras, si en en el entorno de nuestro punto no hay cargas, todas las líneas de campo que entran salen otra vez como si nada.

2. Si en el punto que estamos mirando hay carga positiva, es decir, ρ > 0, entonces la divergencia será positiva — estarán naciendo líneas de campo. Además, cuanto mayor sea la densidad de carga positiva, mayor será la divergencia y, por lo tanto, más líneas de campo estarán naciendo.

3. Si en el punto que estamos mirando hay carga negativa, es decir, ρ < 0, entonces la divergencia será negativa — estarán muriendo líneas de campo. Además, cuanto mayor sea la densidad de carga negativa, más negativa será la divergencia y, por lo tanto, más líneas de campo estarán muriendo.

Creo que es más fácil comprenderlo con ejemplos visuales, dada la naturaleza “gráfica” de la divergencia, de modo que hagámoslo así. El primer caso es fácil, basta con encerrar en nuestro mini-círculo rojo una región sin cargas eléctricas, como en nuestro primer dibujo:

El segundo caso podemos mostrarlo en el mismo diagrama, ya que tenemos ahí una carga positiva como una catedral, nuestro protón:

Finalmente, para el tercer caso nos hace falta una carga negativa, por ejemplo, un electrón, que representaré en rojo:

Naturalmente, al manipular la ecuación matemáticamente para obtener las líneas del campo eléctrico, no sólo podemos conocer dónde “nacen” y “mueren”, sino cuánto van divergiendo en el espacio, cuántas aparecen y desaparecen, cómo se curvan, etc. De hecho, al aplicarlas a casos concretos se observa cómo el campo decrece proporcionalmente al cuadrado de la distancia, como decía el buen Charles-Augustin de Coulomb. Por ejemplo, al aplicar la ecuación a un protón y un electrón que estén a cierta distancia uno de otro, aparece algo tan bello (si eres friki como yo) como esto:

Líneas de campo de un dipolo eléctrico –no es mío, con lo que los colores no son coherentes con los dibujos anteriores– (Geek3/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License).

¡Por fin! Hemos desgranado toda la ecuación, y podemos por lo tanto leerla “en cristiano”, y además comentar algunas cosas más sobre ella. ¿Qué dice, por lo tanto, la Ley de Gauss para el campo eléctrico o primera ecuación de Maxwell en palabras normales y corrientes?

Que las cargas eléctricas son los lugares donde nacen y mueren las líneas de campo eléctrico. Las líneas “nacen” en las cargas positivas, y “mueren” en las negativas. Si no hay un tipo de carga o el otro, es también posible que nunca “mueran” en ningún destino, como pasaba con nuestro protón inicial, o que nunca “nazcan” en ningún origen, como en el caso del electrón aislado de antes.

Conceptualmente e ignorando los detalles, la Ley de Gauss para el campo eléctrico nos dice cuáles son las fuentes fundamentales del campo eléctrico: las cargas. Eso sí, si vuelves a la introducción y miras las ecuaciones de nuevo, verás que nuestro ya viejo amigo, el campo eléctrico E, aparece en otros sitios. Sin embargo, esta ecuación puede considerarse el “trono” en el que se sientan el campo eléctrico y la carga eléctrica.

¿Por qué digo esto? Porque, si has leído el bloque [Electricidad I], allí hablábamos de lo difícil que es definir rigurosamente qué es la carga eléctrica y qué significa “positivo” y “negativo”. Dicho en plata, la carga eléctrica es la propiedad asociada a la interacción electromagnética, de la que el campo eléctrico es una de las dos mitades. En la Ley de Gauss vemos la relación íntima que existe entre carga y campo — las cargas eléctricas son las fuentes del campo.

La otra pieza del rompecabezas no aparece en la Ley de Gauss ni en las ecuaciones de Maxwell; como dijimos en la introducción, el efecto del campo eléctrico sobre las cargas está definido en la Ley de Lorentz. Pero esta Ley de Gauss para el campo eléctrico nos permite, en cierto modo, definir qué es el campo eléctrico: es la perturbación creada por la mera existencia de cargas eléctricas.

Desgraciadamente, parte de la belleza de la ecuación no puedo mostrarla aquí: al aplicarla matemáticamente a un caso concreto, como ves en la figura de arriba, pueden formarse patrones verdaderamente complicados, y me parece maravilloso como tantísima cantidad de información sobre un sistema –todo el entramado de sus líneas de campo eléctrico– puede surgir de una ecuación matemáticamente tan simple.

De modo que te invito, pacientísimo lector, a que vuelvas al principio del artículo y mires de nuevo esta primera ecuación. ¿Te intimida, o sonríes levemente al mirarla?

En el siguiente artículo masticaremos la segunda ecuación de Maxwell, la Ley de Gauss para el campo magnético.