La ecuación de onda de Schrödinger (III)

Hoy finalizamos la discusión sobre la ecuación de onda de Schrödinger, dentro de la serie Cuántica sin fórmulas. Antes de seguir puedes leer la primera parte o mejor aún, si no lo has hecho, empezar desde el primer artículo de la serie. Partimos de conceptos que, si no conoces, pueden confundirte.

En la parte I de este artículo hablamos sobre la elaboración de la ecuación en sí, y algunas de las preguntas y reacciones que suscitó. En la segunda parte nos dedicamos a especular acerca de la naturaleza de la función de onda, con especial énfasis en la interpretación probabilística de Born, de gran éxito experimental. Hoy veremos cómo, para desánimo de los enemigos de las relaciones de indeterminación de Heisenberg, éstas aparecen meridiana e inevitablemente cuando se acepta como válida la ecuación de Schrödinger. No hay escapatoria.

El primero en demostrar matemáticamente que las relaciones de Heisenberg eran inevitables a partir de la formulación de Schrödinger fue el físico y matemático estadounidense Howard P. Robertson en 1930, pocos años después de la publicación de los artículos de aquél. De hecho, el propio Schrödinger “refinó” la relación matemática obtenida por Robertson, de modo que se la conoce como relación de Robertson-Schrödinger. Sí, como ves estos físicos no tenían reparos en aceptar conclusiones que no les gustaban – lo que querían era saber la verdad de las cosas, aunque se opusiera a lo que ellos deseaban que fuera la verdad última. Muchos deberían aprender de ellos.

La relación de Robertson-Schrödinger incluye como un caso concreto las relaciones de indeterminación de Heisenberg. Por supuesto, aunque esto se puede demostrar matemáticamente, dada la naturaleza de esta serie y el elevado nivel de las matemáticas involucradas, aquí vamos a hacer lo que hacemos siempre: explicarlo en términos sencillos y sin necesidad de emplear fórmulas matemáticas. Eso sí, si quieres elevadas disquisiciones sobre el asunto éste no es el lugar adecuado. Ser “antes simplista que incomprensible”, como es nuestro propósito, tiene una parte buena pero también una mala (el propio hecho de ser simplista). Avisado estás para cuando hable de “apretar ondas infinitas” y cosas así.

Para entender por qué la función de onda implica la indeterminación de Heisenberg hace falta recordar algunos conceptos explicados en artículos anteriores de la serie, y también entender algunas ideas básicas sobre ondas (estoy convencido de que los ingenieros de telecomunicaciones y similares no tendréis el más mínimo problema para entenderlo).

Como espero que recuerdes, en su hipótesis Louis de Broglie había propuesto que las partículas materiales, como los electrones, tienen una longitud de ondaasociada que depende de su momento lineal (y por lo tanto de su velocidad): cuanto más rápido se mueve la partícula, más corta es la longitud de onda.Conocida la longitud de onda, puedo calcular la velocidad de la partícula.

Sin embargo, en el artículo en el que hablamos de la hipótesis de de Broglie consideramos ondas “perfectas”, como hacía el propio Louis de Broglie, es decir, ondas armónicas simples indefinidas. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger pueden ser ondas de muy diversa índole, y muchas de ellas no son “perfectas”. Y esta distinción hace que la hipótesis de Louis de Broglie no pueda ser considerada sólo respecto al valor de la longitud de onda, sino que puede producir un intervalo de valores de la longitud de onda.

La cuestión es que no todas las ondas tienen una longitud de onda bien definida. La longitud de onda es la distancia que separa las crestas (o los valles) de una onda, pero no todas las ondas tienen una distancia fija, ni siquiera crestas de la misma altura en todas partes. Algunas sí tienen una longitud de onda perfectamente definida, como este tren de ondas infinitamente largo (los puntos suspensivos indican que esto continúa hasta el infinito):

Disculpas por el pobre dibujo. Desde luego, cuando publiquemos la serie en forma de libro, Geli se encargará de hacer las ilustraciones para que sean más profesionales; por ahora tiene que valer éste que, por otro lado, debería servir para entender lo que quiero decir. Sólo es posible definir perfectamente la longitud de onda cuando la onda es infinita.

Un caso muy diferente del dibujo de arriba es una onda muy localizada en el espacio, como un pulso de este tipo:

Desde luego, al resolver la ecuación de Schrödinger para condiciones distintas (como diferentes experimentos con un electrón) pueden obtenerse ondas similares a los ejemplos de estos dos dibujos (aunque se trata de ondas complejas, por supuesto). La cuestión, naturalmente, es interpretar qué diablos significa que la onda de un electrón sea como en el primer caso o como en el segundo.

Fíjate en el primer dibujo, y recuerda tanto la interpretación probabilística de Born como la hipótesis de de Broglie: en los puntos de máxima amplitud de la onda es donde más probablemente encontraríamos al electrón si lo detectamos como partícula, por ejemplo con una pantalla. En los puntos en los que la onda cruza la horizontal no encontraríamos jamás al electrón. Por otro lado, la velocidad de ese electrón está definida por la longitud de la onda.

Respecto a la velocidad, no hay ningún problema — podríamos simplemente calcularla como hacía de Broglie y la conoceríamos perfectamente, pues esa onda infinita tiene una longitud de onda perfectamente definida. Pero no tenemos ni la más mínima idea de donde está el electrón. Recuerda que esa onda es infinita, de modo que el electrón puede encontrarse en cualquier punto en el que la amplitud no sea nula: ¡hay infinitas crestas! Cuando la onda tiene una longitud de onda perfectamente definida, se extiende por todo el espacio.

Por supuesto, ocurre justo lo contrario con el segundo dibujo: ahí la onda está muy bien definida en el espacio. No encontraríamos al electrón en cualquier parte, y de hecho la mayor parte de las veces estaría en algún sitio del pico más alto de todos… pero esa onda no tiene una longitud de onda bien definida, porque es un pulso muy estrecho. Sabemos muy bien dónde está el electrón, pero no conocemos su velocidad con casi ninguna precisión.

Puedes pensarlo así: para que esté bien definida la longitud de una onda hace falta que ésta tenga muchas crestas y muchos valles. Pero para que suceda eso tiene que extenderse mucho en el espacio. Por otro lado, cuanto más alto y estrecho es un pulso de onda –y, por lo tanto, más precisa es la posición de la onda–, peor definida está su longitud de onda. No es posible tener una onda muy restringida en el espacio (con un pico muy alto y muy estrecho) pero que tenga la longitud de onda bien definida, porque la longitud de onda requiere, para tener un valor fijo, muchas crestas de la onda.

Existen ondas con algunas características peculiares, como las ondas estacionarias, que pueden tener una extensión relativamente pequeña y una longitud de onda bien definida. De hecho, puede pensarse en los electrones en orbitales atómicos como una especie de “ondas estacionarias” que rodean el núcleo. Sin embargo, incluso en este caso no podemos conocer la posición del electrón (o la partícula que sea) con precisión arbitraria sin volver “borrosa” la longitud de onda. Sí podemos saber que está entre los dos extremos de la onda, no en los puntos de amplitud nula (los nodos de la onda estacionaria), y más probablemente en las crestas de la onda.

Es decir, podemos conocer la distribución de probabilidad de encontrar el electrón en cada lugar, pero la suma de todas esas probabilidades (la nube de probabilidad) es la propia onda estacionaria que rodea al átomo, con la forma que tenga según la solución a la ecuación de Schrödinger.

Por si acaso la explicación te deja confuso, voy a intentarlo de una forma diferente, aunque tienes que ejercitar tu imaginación para visualizar lo que voy a decir. Imagina que tienes una onda infinita y perfecta, con todas sus crestas y valles perfectamente definidos. Su longitud de onda tiene un valor fijo, pero la onda se extiende por todo el espacio, como en el primero de los dos dibujos de arriba.

Pero supongamos que no estás contento con eso, sino que quieres que la onda sólo exista en una región más pequeña del espacio, de modo que agarras los extremos (sí, en el infinito, ¿no te he dicho que ejercites la imaginación?) y los “aprietas” con las manos hacia dentro, de modo que la onda ocupe menos espacio. Por la propia naturaleza matemática de las ondas, la onda se “arruga” y pierde su forma perfectamente definida, de modo que algunas de las crestas casi desaparecen (o lo hacen completamente), mientras que otras se hacen más grandes, y algunas quedan más cerca de otras mientras que algunas se alejan. Al final acabas con el pulso de onda de abajo, muy definido en el espacio pero con una longitud de onda muy difusa.

¡Es justo lo que decía Heisenberg, en términos diferentes! Si la velocidad está muy bien definida, no tenemos ni idea de dónde está el electrón (en términos de Schrödinger, si la longitud de onda está bien definida, la onda se extiende mucho en el espacio). Si la posición está muy bien definida, no tenemos ni idea de la velocidad del electrón (en términos de Schrödinger, si el pulso es muy estrecho su longitud de onda está mal definida).

Por lo tanto, aceptar la formulación de Schrödinger –como parecía ya evidente una vez Born propuso su interpretación probabilística– no es la salvación que algunos esperaban de un “mundo aleatorio”. Puesto que las dos formulaciones matemáticas son equivalentes, esto no debería ser sorprendente, pero para algunos supuso un duro golpe.

Lo que sí es cierto es que mientras que deducir de forma lógica las relaciones de incertidumbre a partir de la formulación matricial de Heisenberg es muy difícil, hacerlo a partir de la ecuación de onda de Schrödinger es relativamente intuitivo: de hecho, mejor o peor, acabamos de hacerlo aquí mismo. Esta fue una de las razones que hicieron a la formulación ondulatoria mucho más común que la matricial.

De lo que no cabía duda, a partir de cualquiera de las dos teorías alternativas, era de lo inevitable: es imposible conocer con precisión arbitraria la posición y la velocidad de una onda-partícula material. La razón, en términos de Schrödinger, no es otra que la naturaleza ondulatoria de la materia.

Quiero incidir una vez más en esto por lo extendido de las falsas ideas sobre el principio de incertidumbre, aunque ya las desmentimos en los artículos dedicados a él, en este caso utilizando la formulación ondulatoria: la indeterminación no se debe simplemente a que al observar el electrón lo modifiquemos; la indeterminación es una consecuencia inevitable del hecho de que el electrón es una onda, y una onda no puede tener una posición y una longitud de onda muy bien definidas a la vez.

Desde luego, aceptar el buen funcionamiento experimental de ambas formulaciones no requiere aceptarlas como verdades últimas: muchos físicos pensaban que no conocíamos todo lo que hay que conocer sobre las partículas, y de ahí que las describamos como ondas. Otros pensaban que no existe tal cosa como una “partícula”, sino simplemente ondas. A lo largo de la serie iremos desgranando las diversas interpretaciones de la aparente aleatoriedad del Universo.

Sin embargo, la solidez matemática y –más importante aún– la extraordinaria precisión con la que las teorías de Heisenberg y Schrödinger predecían los experimentos no dejaban lugar a dudas: cualquier teoría posterior muy probablemente sería compatible con ellas. Tal vez las dejara como casos particulares de una teoría más extensa, como la mecánica newtoniana es un caso particular de la relatividad Einsteniana, pero no podían ser ignoradas.

En la siguiente entrega de la serie hablaremos acerca de algún caso concreto de aplicación de la ecuación de Schrödinger, y una más de las conclusiones que se extraen de ella pero que hacen chirriar nuestra intuición. Estudiaremos las soluciones para varios “pozos de potencial”, para comprobar cómo los resultados de Schrödinger parecen imposibles si se piensa en términos clásicos, y lo que es más interesante, el efecto túnel. En el siguiente artículo, el pozo de potencial infinito.