La fuerza de Lorentz

En la miniserie dedicada a las ecuaciones de Maxwell, además de la introducción histórica, hemos dedicado un artículo a cada una de las cuatro: la ley de Gauss para el campo eléctrico, la ley de Gauss para el campo magnético, la ley de Faraday y la ley de Ampère-Maxwell. El objetivo de este pequeño conjunto de artículos es dar una idea general sobre lo que significa cada una de las cuatro ecuaciones y, además, tratar de mostrar la importancia del conjunto formado por estas leyes físicas tan elegantemente presentadas por Maxwell.

Una vez desgranadas, mal que bien, las cuatro ecuaciones, quiero complementarlas con unos pequeños anexos sin los que me parece que la cosa se queda un poco coja. En primer lugar, como habrás visto si has seguido la serie hasta ahora –y si no es así, ¿qué haces leyendo un anexo, alma de cántaro?–, las cuatro ecuaciones establecen cuáles son las fuentes y las propiedades de los campos eléctrico y magnético. Como hemos visto, el campo electromagnético tiene cuatro fuentes fundamentales: las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas –es decir, las cargas en movimiento–, las variaciones en el campo eléctrico y las variaciones en el campo magnético.

Pero eso es sólo la mitad de la historia: hemos estudiado los campos eléctrico y magnético como consecuencias, pero la razón por la cual nos pusimos a estudiarlos en primer lugar es porque notamos sus efectos a nuestro alrededor: ¿qué consecuencias tienen esos dos campos sobre la materia? Como recordarás, cuando hablamos sobre la ley de Gauss para el campo eléctrico dijimos que en cierto sentido era una reformulación más moderna de una ley anterior, la ley de Coulomb que describía cómo las cargas del mismo signo se repelen y las de signos contrarios se atraen.

La ley de Gauss, sin embargo, no decía absolutamente nada de cargas que se repelen o se atraen, sino que simplemente establecía la creación del campo eléctrico a causa de la existencia de cargas. En tiempos de Coulomb, la interacción entre cargas se estudiaba de una manera directa, como algo así:

Sin embargo, la formulación de Maxwell del electromagnetismo es más abstracta y tiene algo así como dos pasos. Como hemos visto, la materia cargada crea campos — en el caso de la ley de Gauss, las cargas crean un campo eléctrico a su alrededor. Podríamos representar la ley de Gauss así:

A su vez, ese campo afecta a la materia cargada:

Y es éste segundo “paso”, la influencia de los campos sobre la materia cargada –es decir, la fuerza ejercida por los campos sobre las cargas– el que no aparece en ninguna de las ecuaciones de Maxwell y al que nos vamos a dedicar brevemente hoy. Como puedes ver, el efecto final de unas cargas sobre otras es el mismo que en la versión de Coulomb: el campo aquí no es más que un intermediario de la interacción, que tiene el mismo efecto que antes sobre la segunda carga. Sin embargo, como hemos visto a lo largo de la serie, ambos campos interaccionan entre sí y producen efectos a veces sorprendentes –y a ellos dedicaremos el segundo anexo, por cierto–.

Afortunadamente, a diferencia de la generación de campos a partir de la materia, el efecto de los campos sobre ella es más simple y fue resumido en una sola ley física por un viejo amigo de El Tamiz, Hendrink Antoon Lorentz. Este simpático y genial holandés fue el ganador del Premio Nobel de Física de 1902 por su hipótesis de que la radiación electromagnética era creada por minúsculas partículas cargadas en la materia, pero hoy vuelve a ser el héroe de nuestra historia.

Hendrink Antoon Lorentz (1853-1928) (dominio público).

Sin embargo, como suele pasar en ciencia, el resultado no es la labor de un sólo héroe, sino de una larga cadena de ellos. Como ya hemos visto, Charles-Augustin de Coulomb había establecido ya una ley matemática que describía la atracción y repulsión entre cargas –debida, en términos más modernos, al campo eléctrico–, y André-Marie Ampère había llegado a una ley similar que describía la atracción y repulsión entre corrientes eléctricas –en términos post-Maxwell debida al campo magnético–. De modo que conocíamos ya, de manera más simple, los efectos de los campos sobre la materia cargada, pero nos hacía falta reformular estas leyes en términos post-Maxwell, es decir, en términos explícitos del campo eléctrico y magnético. De ahí que hiciera falta algo más después de Coulomb y Ampère.

El siguiente protagonista es otro viejo conocido, J. J. Thomson, galardonado con el Premio Nobel de Física de 1906 por su descubrimiento del electrón. El británico trató de encontrar una ley matemática que describiera la fuerza que sufren las cargas debida al campo magnético B y estuvo a punto de lograrlo a la perfección. De hecho, la expresión obtenida por Thomson en 1881 es la correcta excepto por un factor de 1/2 debido a algunos errores de cálculo.

Puede parecer un espanto obtener una expresión que predice una fuerza magnética que es la mitad de la real, pero el logro de Thomson es inmenso: aunque el valor numérico no sea el bueno, el comportamiento de la materia respecto al campo estaba perfectamente descrito de forma cualitativa. La expresión de la fuerza magnética que obtuvo Thomson a partir de los datos experimentales era ésta, en función de la carga, la velocidad y el campo magnético:

Sí, ese 1/2 sobra, pero veamos qué significa cualitativamente esta “ley de Thomson” para la fuerza magnética, ya que hay una operación ahí que todavía no hemos visto específicamente en esta mini-serie. En primer lugar, la fuerza debida al campo magnético es un producto de varios factores, lo cual tiene una consecuencia inmediata: no puede existir una fuerza magnética si cualquiera de los factores es nulo.

Dicho de otro modo, para que algo sufra una fuerza magnética ese algo debe:

Tener carga eléctrica q, luego un cuerpo neutro no sufre fuerzas magnéticas.

Estar en algún sitio en el que exista un campo magnético B, luego sin campo magnético no hay fuerza magnética, algo de perogrullo.

Estar moviéndose con una velocidad v, luego un cuerpo en reposo no sufre una fuerza magnética.

De estas tres condiciones la tercera me parece la menos evidente y la más interesante. De acuerdo con Thomson –y con todos los experimentos realizados, claro, pues su fórmula era una ley, es decir, una observación empírica puesta por escrito–, aunque tengamos una carga eléctrica tremenda inmersa en un campo magnético de tres pares de narices, si la carga está quieta, no sufrirá absolutamente ninguna fuerza magnética. ¡Ni se entera de que hay un campo!

Thomson en el Cavendish Physical Laboratory de Cambridge (dominio público).

Si te fijas, esto tiene una bella simetría con la ley de Ampère-Maxwell que describía las fuentes del campo magnético. Como espero que recuerdes o te suspendería si fueras mi alumno, en aquella ley vimos que la fuente primaria del campo magnético –es decir, aparte del campo eléctrico variable– lo constituían las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento.

Es decir, para que exista un campo magnético no basta con que haya cargas: debe haber cargas moviéndose. Pero ahora, de acuerdo con Thomson, vemos que para que una carga eléctrica sufra los efectos de un campo magnético no basta con que haya un campo y una carga: debe haber un campo y una cargamoviéndose. Sólo las cargas en movimiento crean B y sólo las cargas en movimiento sufren B. Esto tiene una importantísima consecuencia si piensas en el hecho de que todo el movimiento es relativo, y de ella hablaremos en el tercer anexo.

Sin embargo, nos queda una cosa más por analizar: ese

no es un producto cualquiera, sino un producto vectorial entre la velocidad y el campo, representado por ese signo de multiplicación a la antigua usanza. Aunque explicar en profundidad el significado de este operador matemático es algo que no puedo hacer aquí, sí puedo darte una idea de alguna de sus propiedades ya que, aunque “escondido”, ha hecho su aparición en esta mini-serie siempre que lo hizo el rotacional. Si no, fíjate en la ley de Faraday:

Ese producto del operador nabla por el campo eléctrico no es otra cosa que un producto vectorial. Aunque hoy no estamos multiplicando nabla sino simplemente la velocidad por el campo magnético, la propiedad fundamental es la misma en ambos casos: el resultado es siempre perpendicular a los dos vectores involucrados. En este caso, la consecuencia más interesante de que lo que hemos llamado “ley de Thomson” –pongo comillas porque nadie la llama así que yo sepa– tenga un producto vectorial es la siguiente: la fuerza magnética siempre es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de las cargas.

Una vez más, si te fijas, existe una simetría con la generación del campo por la ley de Ampère-Maxwell: el campo magnético era siempre perpendicular a las corrientes eléctricas y los cables (¿recuerdas la foto del cable con las limaduras de hierro alrededor?). Del mismo modo que sucede eso, al interaccionar campo con cargas vuelve a pasar lo mismo: la fuerza que aparece sobre las cargas es perpendicular al campo.

Sin embargo, más interesante aún es la otra perpendicularidad, aunque a veces una primera mirada a la ecuación la pasa por alto: la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad. ¿Qué significa esto? Que si, por ejemplo, la carga va hacia la derecha, la fuerza magnética nunca jamás irá hacia la derecha ni hacia la izquierda. De hecho, nunca irá en ninguna dirección que no sea perpendicular a la dirección en la que se mueve la carga: nunca la empujará lo más mínimo “hacia delante” en su movimiento, y nunca la empujará “hacia atrás” en su movimiento. Sí podría ir, en nuestro ejemplo, hacia arriba, o hacia abajo, o en cualquier otra dirección perpendicular a la línea horizontal. Si suponemos que la partícula viaja hacia la derecha y la fuerza va, por ejemplo, hacia arriba, la situación sería algo así:

Pero claro, en el mismo instante en el que la fuerza se llevase nuestra partícula hacia arriba, la partícula ya no estaría viajando hacia la derecha, sino en diagonal hacia la derecha y un poquitín hacia arriba… luego la fuerza magnética también cambiaría de dirección y ya no iría hacia arriba, sino “hacia arriba y un poquitín hacia la izquierda”, pues de acuerdo con la “ley de Thomson” debe ser perpendicular a la velocidad:

Y lo mismo vuelve a pasar todo el tiempo, por supuesto, ya que ahora la carga curva su movimiento aún más, con lo que también lo hace la fuerza:

Como puedes ver, puesto que la dirección de la fuerza va cambiando según lo hace la velocidad, nuestra partícula terminaría realizando una circunferencia. Si hubiera empezado moviéndose en otra dirección, tal vez hubiera seguido una especie de “muelle” avanzando en una dirección pero girando en otra, pero siempre hubiera aparecido algún movimiento circular por la propia naturaleza de la “fuerza de Thomson”. En la realidad muchas partículas subatómicas pueden frenarse o acelerar por otras razones, por ejemplo, si no están en el vacío sino dentro de un gas en el que chocan con otras partículas y se frenan, con lo que muchas veces, en vez de circunferencias, vemos espirales. Seguro que alguna vez has visto alguna foto de una cámara de niebla y en ella aparecen cosas como ésta:

Imagen cortesía del CERN.

Se trata de los rastros de las partículas producidas en la desintegración de un kaón –una partícula inestable de la que hemos hablado hace bastante tiempo–. Lo que me interesa hoy no son los kaones, sino que comprendas la razón de que siempre aparezcan esas espirales, y lo que significan: que en esa cámara de niebla hay un campo magnético y que la fuerza originada por ese campo sobre las partículas cargadas que se mueven en él a gran velocidad produce movimientos circulares — o, en este caso, espirales, dado que las partículas cambian su rapidez por otras razones.

Esta perpendicularidad significa además que un campo magnético nunca jamás puede hacer que una partícula se mueva más deprisa o más despacio que antes. Piénsalo: para que empujase la carga a moverse más rápido que antes, debería empujarla hacia delante, al menos un poco… pero eso no puede pasar, porque la fuerza es perpendicular siempre a la dirección de movimiento. Y para frenarla lo más mínimo, tendría que tirar de ella hacia atrás, ¡pero eso tampoco puede pasar! El campo magnético sólo puede hacer que las partículas “giren”, modifiquen la dirección en la que se mueven, pero nunca puede modificar un ápice lo rápido que van.

Puede que estés arqueando las cejas y pensando algo como: “Vamos a ver, Pedro, cuando pongo dos imanes cerca el uno del otro, completamente parados, empiezan a moverse cada vez más deprisa, ¡ya lo creo que sufren una fuerza hacia delante!” Ah, sí, claro… pero tus pobres ojos humanos no están viendo lo que pasa realmente. No puedo dedicarle suficiente tiempo aquí para explicarlo en profundidad, pero es una confusión suficientemente común –y razonable– como para otorgarle al menos un párrafo.

Las partículas que componen los imanes no estaban paradas, ¡ni mucho menos! Los electrones estaban moviéndose alrededor de sus núcleos a una velocidad tremenda. Lo único que hace el campo magnético del otro imán es curvar el movimiento de muchos electrones al unísono, de modo que todos intenten moverse hacia el otro imán… y, debido a la atracción de Coulomb, se lleven a sus núcleos consigo, haciendo que el imán se mueva como un todo. Dicho de otro modo, la fuerza magnética no hace que las partículas se muevan más deprisa, pero sí que muchas partículas que tenían movimientos dispares “se pongan de acuerdo” y tiren juntas del objeto macroscópico en una dirección determinada. Pero, como no vemos partículas subatómicas, pensamos ingenuamente que los imanes empezaron parados y luego empezaron a moverse.

El caso es que Thomson estableció el comportamiento cualitativo de las cargas en presencia de un campo magnético y sólo metió la pata en ese maldito 1/2. El responsable de corregirlo no fue otro que Oliver Heaviside, el siguiente héroe de hoy, quien reescribió y reorganizó las muchas ecuaciones de Maxwell como las cuatro que conocemos hoy. Heaviside obtuvo la expresión correcta en 1889:

Una vez cuantificada la influencia del campo magnético, para completar la ley que describía la influencia del campo electromagnético sobre la materia sólo faltaba, por tanto, incorporar el campo eléctrico a esa ley; en otras palabras, hacía falta introducir ahí la ley de Coulomb reescrita en términos de los campos de Maxwell. Aquí es donde, por fin, hace su aparición el héroe final de hoy, Lorentz, que en 1892 publicó la expresión completa de la fuerza electromagnética sobre la materia, que incluye el efecto de los dos campos, eléctrico y magnético:

Como sucedía en las cuatro ecuaciones de Maxwell, aquí el campo eléctrico también es más simple y sus efectos más intuitivos. Como puedes ver, en el término de E no hay velocidad que valga, ni productos vectoriales, ni perpendicularidades ni pamplinas. Esto tiene sus consecuencias, por supuesto.

En primer lugar, la fuerza que sufre una carga sometida únicamente a un campo eléctrico será la siguiente:

Punto pelota. Para que una carga sufra una fuerza eléctrica sólo hacen falta dos cosas: una carga y un campo. No hace falta que la carga se mueva; una vez más, simetría con las ecuaciones de Maxwell, ya que la ley de Gauss establecía que las cargas eléctricas producen a su alrededor campos eléctricos, sin necesidad de moverse, y ahora pasa lo mismo pero al revés: las cargas eléctricas sufren la acción de los campos eléctricos sin necesidad de moverse.

Albert Einstein y Hendrik Antoon Lorentz, fotografiados por Ehrenfest a la puerta de casa del último en 1921 (dominio público).

La segunda diferencia con la parte establecida por Thomson y Heaviside es que aquí no hay nada perpendicular: si el campo eléctrico va en una dirección determinada, la carga sufrirá una fuerza en ese sentido o el opuesto. Es posible, por ejemplo, tener una partícula que va hacia la derecha y que el campo vaya hacia la derecha y la fuerza también: esa partícula, como consecuencia, se moverá cada vez más rápido. Los campos eléctricos sí hacen que las partículas vayan más rápido o más despacio, a diferencia de los magnéticos.

A pesar de que existen otras fuerzas fundamentales sin las que nuestro conocimiento del Universo sería incompleto, como la gravedad o las fuerzas nucleares, la fuerza de Lorentz –o, mejor dicho, la fuerza de Coulomb-Faraday-Ampére-Thomson-Heaviside-Maxwell-Lorentz-etcétera, porque siempre somos injustos con los nombres de las cosas– tiene una importancia difícil de expresar con palabras. Combinada con las cuatro ecuaciones de Maxwell, hizo que la última parte del siglo XIX fuera una revolución en nuestro conocimiento de la materia: además de los fenómenos eléctricos y magnéticos más evidentes, las interacciones electromagnéticas determinan las reacciones químicas, el contacto entre los cuerpos… sin este conocimiento hubiéramos sido incapaces de conocer la estructura del átomo y el comportamiento de las cosas a nuestro alrededor a escala microscópica.

De ahí este primer anexo, más extenso de lo que había planeado: porque una mesa construida sólo con las ecuaciones de Maxwell estaría coja. Hace falta esta “quinta pata”, la fuerza de Lorentz, para comprender lo enorme de su relevancia y su papel como fundamento de la Física del cambio de siglo, más aún por los cambios que originaría esta teoría electromagnética a principios del XX. Pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

Como puedes ver, tras la creación de campos por parte de la materia, la ley de Lorentz establece el segundo paso de la relación materia-campos, es decir, la influencia de los campos sobre la materia. Pero ¿qué hay de la influencia de los campos unos sobre otros? Ahí es donde James Clerk Maxwell revolucionó la Física y dejó al mundo boquiabierto, pero de ello hablaremos en el segundo anexo a esta mini-serie