El pozo de potencial finito

Continuamos hoy buceando en las procelosas aguas de la mecánica cuántica en la serie Cuántica sin fórmulas. Tras establecer unos fundamentos teóricos más o menos claros, en la última entrada de la serie nos dedicamos a aplicar esos conceptos teóricos a un caso concreto y relativamente sencillo de formular: el delpozo de potencial infinito. Como espero que recuerdes, ese simple experimento mental nos llevó a conclusiones contrarias a la intuición, como el hecho de que no todas las energías están permitidas, o que sea imposible encontrar la partícula en lugares en los que la física clásica le permite estar, o la existencia de la energía del punto cero.

Hoy vamos a estudiar un caso similar al de esa entrada, pero la aparentemente leve diferencia entre ambos nos llevará a conclusiones aún más extrañas que las del pozo infinito y nos abrirá las puertas de fenómenos cuánticos muy interesantes. Estudiaremos el pozo de potencial finito.

Lamento ser repetitivo en esta serie, pero tocan los avisos de rigor. En primer lugar, se trata de artículos densos y bastante abstractos, de modo que no te desmoralices si al principio te pegas con una pared: desde luego, si no lo has hecho aún deberías empezar la serie desde el principio o te va a costar bastante entender este artículo, pero incluso entonces puede que esto te parezca un ladrillo. Si es así, tal vez sea mejor que leas alguna otra cosa, porque por mucho que me esfuerce por hacerlo asequible esto no deja de ser difícil de asimilar.

En segundo lugar, si eres físico como yo leer esta entrada puede provocarte urticaria, escozor espiritual y un intenso dolor en las meninges: me dispongo a realizar, como en muchos artículos de esta serie, simplificaciones que pueden parecerte infames. Es el precio que pago gustoso a cambio de tratar de explicar estas cosas en un lenguaje más o menos llano, pero entiendo que puedes no compartir esta filosofía — si es así, no merece la pena que sufras leyendo esto.

Dicho todo esto, aunque espero que aún tengas fresco en la memoria el artículo del potencial infinito, recordemos algunos conceptos básicos de los que hablamos allí, puesto que este caso es bastante parecido en su planteamiento inicial. Supongamos que tenemos una partícula –un electrón, para que sea igual que en la entrada anterior– que se mueve libremente en una dimensión, a lo largo de una recta infinitamente larga.

En la entrada anterior “encerramos” al electrón dentro de un segmento de esa recta: establecimos que era imposible que se encontrase fuera de ese segmento, suponiendo que la energía necesaria para escapar fuera infinita (de ahí el nombre de “pozo de potencial infinito”). Al igual que en ese artículo, en general voy a hablar de la energía y no del potencial, porque la diferencia entre ambos es irrelevante para este ejemplo.

Supongamos que hoy somos algo menos exigentes que en aquel artículo: en vez de tener escalones de energía infinita a los lados del segmento, encerremos al electrón entre escalones de energía finita. Al igual que en el caso anterior, representaremos la energía necesaria para alcanzar cada zona de la recta en el eje y, y la recta en sí en el eje x. De este modo, la energía necesaria para alcanzar una región de la recta es la altura de la zona sombreada:

Como puedes ver, nuestro electrón va a estar, igual que en el artículo anterior, dentro de un “pozo” de energía, pero en este caso el pozo no es infinitamente profundo. Al igual que hicimos entonces, estudiemos este problema desde el punto de vista de la física clásica, tan familiar, tan intuitiva y tan falsa, antes de hacerlo desde el punto de vista cuántico (primero desde el punto de vista ondulatorio y luego desde el corpuscular).

Supongamos que el electrón que ponemos dentro del pozo no tiene suficiente energía como para escapar de él: tiene, por ejemplo, la mitad de la energía necesaria. En este caso, la solución clásica a nuestro experimento mental es exactamente la misma que era en el artículo anterior — si se está moviendo, el electrón llegará a la barrera y, puesto que no tiene suficiente energía para seguir, rebotará en ella y volverá por donde vino; chocará con el otro escalón de energía y volverá otra vez, y así infinitamente.

El comportamiento del electrón es exactamente el mismo que antes porque, si no tiene suficiente energía para escapar, lo mismo le da que le falte un poquito, mucha o (como sucedía en el artículo anterior) infinita energía para escapar. En mecánica clásica lo esencial es que no puede escapar, le falte poco o infinito, y punto.

De hecho, este experimento mental –como el de la entrada anterior– no tiene demasiado interés desde el punto de vista clásico, no es más que una partícula rebotando entre los bordes de la “caja” en la que se encuentra o escapando si tiene suficiente energía para hacerlo. Pero al mirar el problema desde el punto de vista cuántico, la cosa cambia mucho…

En el artículo anterior establecimos como una condición absoluta que el electrón sólo podía encontrarse dentro del pozo: era completamente imposible, por definición, que escapase de él (de ahí el requisito de “energía infinita” para escapar). Pero, de acuerdo con la hipótesis de de Broglie, el electrón es una onda, de modo que ¿cómo describir en términos ondulatorios las condiciones de aquel pozo infinito?

Disculpa que vuelva de nuevo al ejemplo del artículo anterior, pero si entiendes la diferencia entre las condiciones de ambos estarás muy, muy cerca de entender el núcleo del artículo de hoy, de modo que te pido paciencia. En términos ondulatorios, nuestro “pozo infinito” tenía tres regiones o medios diferentes. Uno de ellos, el “interior” del pozo, permitía que la onda del electrón se propagase libremente. Las otras dos regiones a izquierda y derecha, por el contrario, no permitían la transmisión de la onda en absoluto.

Puedes pensar en esas dos regiones de energía infinita del siguiente modo: es como si ahí hubiera un material que reflejase la onda del electrón completamente (el electrón “rebota” en la pared), y que absorbiera la onda del electrón instantánea y completamente cuando ésta intenta atravesarlo.

Por el contrario, el pozo finito de hoy tiene dos regiones a los lados en los que la onda no puede penetrar (no tiene suficiente energía para hacerlo, lo mismo que en el pozo infinito), pero con una diferencia esencial: la onda no tiene suficiente energía para penetrar la barrera, pero no le falta infinita energía, sino una cantidad finita. De hecho, no hay más que un posible pozo infinito en cuanto a la profundidad (que es, por supuesto, infinita) pero hay muchísimos pozos finitos posibles, unos más profundos que otros.

En términos de la física clásica, como he dicho antes, la profundidad del pozo es irrelevante si el electrón no tiene energía para escapar, pero en términos ondulatorios sí hay una diferencia. Si la onda no tiene suficiente energía para penetrar en la región “prohibida”, siempre acabará reflejándose en ella y volviendo por donde vino, pero parte de ella es capaz de entrar ligeramente en la región de mayor energía.

Voy a intentar explicarlo utilizando el ejemplo de ondas luminosas y materiales absorbentes. Cuando la onda se encuentra con la barrera energética de altura infinita, es como si la luz encontrase un material con un coeficiente de absorción infinito — antes de que la onda pueda recorrer ninguna distancia, toda su energía desaparece. En ese momento, el material vuelve a emitir la onda hacia el lado contrario, con lo que se produce una reflexión sin que la onda penetre lo más mínimo en él.

Pero imaginemos que la barrera energética no es infinita. Entonces aparece una variable que voy a llamar “defecto de energía”, que es la diferencia entre la energía necesaria para penetrar en el nuevo material y la energía de la que dispone la onda. Es evidente que, si hay un defecto de energía, la onda va a reflejarse y volver por donde vino; pero el valor del defecto de energía determina la intensidad de la onda que es capaz de penetrar hasta cierta distancia en el nuevo material.

Si el defecto de energía es muy grande (la barrera es mucho más alta que la energía de la onda), la onda es absorbida por el material muy rápido, pero no infinitamente rápido, pues el defecto de energía ya no es infinito. Es algo parecido a lo que le sucede al Coyote cuando persigue al Correcaminos y camina sobre el vacío de un precipicio: no cae instantáneamente, sino que tarda un tiempo en darse cuenta de que no hay suelo bajo sus pies. En el caso de nuestra onda, el “tiempo que tarda en darse cuenta” depende del defecto de energía.

Así, si el defecto de energía es muy pequeño (la onda no tiene suficiente energía como para penetrar en la nueva región, pero por muy poquito), la onda disminuye de intensidad según se mueve por la nueva región, hasta que finalmente “rebota” y vuelve a la región permitida.

En términos algo más técnicos, lo que se produce es una onda evanescente, cuya amplitud disminuye exponencialmente con la distancia. Si el defecto de energía es muy grande, esta disminución es muy brusca, de modo que ni siquiera se nota que la onda haya penetrado lo más mínimo en la barrera. Si el defecto es muy pequeño, el decrecimiento de la amplitud de la onda es más suave. Por cierto, si sabes de estas cosas, en todos los dibujos del artículo de hoy (que no son tan buenos como los del anterior, pues estamos de vacaciones y sin el ordenador habitual de modo que Geli ha hecho lo que ha podido) la onda parece acabar en un punto dado, pero estrictamente se trata de una exponencial negativa con el eje x como asíntota. Lo esencial es la forma cualitativa de la onda:

Pero ¿qué quiere decir todo esto en términos de nuestro electrón? Que las ondas que resuelven la ecuación de Schrödinger en el interior de nuestro pozo finito son muy parecidas a las del artículo anterior, pero no son iguales. La mayor parte de sus características son iguales, y no voy a extenderme en ellas tanto como lo hice en aquella entrada, pero puedes verlas en el dibujo: sólo hay unos valores posibles de la longitud de onda, existe un estado fundamental cuya longitud de onda es el doble de la anchura del pozo, etc.

Pero supongamos que la energía del electrón es casi la suficiente como para escapar del pozo. Observa el diagrama del estado fundamental y verás la consecuencia tremenda, revolucionaria, de la naturaleza ondulatoria de la materia cuando el pozo no es infinito:

Como he dicho al hablar de las ondas evanescentes, la onda no se acaba abruptamente en el borde del pozo como sucedía en el caso del pozo infinito, sino que se extiende más allá. Naturalmente, si el defecto de energía fuera enorme esa “extensión” por la región prohibida clásicamente sería muy pequeña, pero grande o minúscula está ahí, ¡y eso es muy raro!

Es relativamente fácil aceptar que una onda que se encuentra con un material que no puede atravesar sea capaz de penetrar ligeramente en él antes de ser devuelta al lugar del que vino… pero recuerda lo que significa la intensidad de la onda del electrón: es una medida de la probabilidad de encontrarlo en un lugar dado. Fíjate una vez más en el dibujo de arriba.

¡El electrón puede estar fuera del pozo! Vale, la probabilidad de encontrarlo fuera del pozo es muy pequeña comparada con la de verlo dentro, y según nos alejamos del borde del pozo la probabilidad disminuye exponencialmente, pero de lo que no hay duda es de una cosa: es posible encontrar al electrón fuera del pozo a pesar de que no tiene suficiente energía para estar ahí clásicamente.

Naturalmente, el electrón tiene todo el derecho del mundo a estar ahí: el problema no lo tienen el electrón ni la formulación de Schrödinger, sino la mecánica clásica. La cuestión es que, en cuántica, las variables que determinan la posición y velocidad del electrón son “borrosas” por su condición de onda, y por lo tanto es posible encontrarlo en lugares –o con velocidades– imposibles según el buen Newton.

Si has seguido la serie desde el principio (y, si no es así, ¿qué haces leyendo esto?) ya sabes que la formulación matemática cuántica predice qué mediremos, y con qué probabilidad, si observamos el electrón. Lo que no hace es decirnos qué sucede “realmente” según el electrón penetra en la región prohibida. De hecho, como bien sabes si eres fiel seguidor de El Tamiz, la propia pregunta no tiene sentido de acuerdo con Heisenberg y compañía.

Sin embargo, una interpretación muy común de lo que sucede en términos de partículas (espero que la explicación ondulatoria te haya quedado más o menos clara) es la siguiente:

Como recordarás de entradas anteriores, muchas de las variables que describen el estado del electrón están asociadas a pares, de modo que cuando una se conoce con mucha precisión la otra se vuelve “borrosa”. Esto sucede con la energía y el tiempo, como mencionamos al hablar de las relaciones de indeterminación de Heisenberg — si enfocamos muy bien la energía, el tiempo se vuelve algo borroso y viceversa, como sucedía con el momento lineal y la posición de las partículas.

Esto quiere decir, de acuerdo con la interpretación que acabo de mencionar, que el electrón puede variar su energía mientras lo haga durante un tiempo muy corto: en la escala macroscópica la energía se conserva, pero esta conservación se vuelve borrosa cuando nos fijamos en períodos de tiempo muy cortos. Pero permite que ponga otro ejemplo ligeramente estúpido pero tal vez revelador.

Imagina que miras un electrón, y puedes mirarlo de dos maneras (¿recuerdas a los heisenbérgicos miopes?) — o bien lo miras cada segundo, fijándote muy cuidadosamente en la energía que tiene, o bien lo miras cada milésima de segundo, pero sin fijarte mucho en su energía (no, la propia naturaleza de las cosas hace que no puedas mirarlo muy rápidamente y saber muy exactamente qué energía tiene). De la primera manera, podrías observar lo siguiente: en el segundo 1 tiene una energía de 0,55. En el segundo 2 tiene una energía de 0,55. En el segundo 3 tiene una energía de 0,55. Qué alivio, ¡se cumple el principio de conservación de la energía! Pero ¿se seguiría cumpliendo si lo mirásemos más rápidamente? ¿Es posible que entre el segundo 1 y el 2 haya tenido más energía pero no lo hayamos visto?

De la segunda manera, podrías ver lo siguiente: en el segundo 0,001 tiene una energía de unos 0,55 con un posible error de 0,1 (es decir, entre 0,45 y 0,65). En el segundo 0,002 tiene una energía de unos 0,57 con un posible error de 0,1 (es decir, entre 0,47 y 0,67). En el segundo 0,003 tiene una energía de unos 0,53 con un posible error de 0,1 (entre 0,43 y 0,63). ¿No se cumple la conservación de la energía? No podemos estar seguros, porque al mirar el electrón tan rápidamente no somos capaces de determinar con precisión la energía que tiene.

De modo que, de cualquiera de las dos maneras, nos es imposible saber exactamente qué energía tiene el electrón todo el tiempo. Es perfectamente posible que el electrón se comporte como un buen electrón, obediente y “clásico”, cuando lo miramos cada segundo… pero que en el período de tiempo en el que no lo miramos tenga más energía de la que debería, volviéndose un electrón rebelde y desobediente, para luego volver a la que tenía al principio, como si supiera que vamos a volver a mirarlo de nuevo y se presente una vez más como un electrón obediente.

Naturalmente, el electrón no sabe que vamos a mirarlo ni nada parecido: la limitación se debe a la propia naturaleza “borrosa” de la materia, que hace que no podamos determinar la conservación de la energía exactamente salvo que lo hagamos para períodos de tiempo relativamente largos.

Así que es posible interpretar lo que le sucede al electrón de la siguiente manera: el electrón puede “tomar prestada” energía y añadirla a la suya propia durante un período de tiempo muy corto. Mientras dispone de esa energía “extra”, es capaz de penetrar en la región prohibida, pero puesto que no puede quedársela durante mucho tiempo, debe devolverla y volver a la región en la que sí puede existir, “rebotando” en la barrera. Al final, el electrón acaba rebotando, pero en vez de hacerlo justo en el borde como cuando se trataba de un pozo infinito, lo hace como si fuera una especie de almohada, en la que puede hundirse una distancia determinada antes de volver.

Claro, esto no podía suceder en el caso del pozo infinito, porque el electrón hubiera necesitado “tomar prestada” una energía infinita para entrar, lo cual hubiera requerido que el intervalo de tiempo hubiera sido nulo, con lo que no podría llegar a ninguna parte. De ahí que la diferencia entre no tener suficiente energía por un poquito o no tener suficiente energía por infinito sea tan importante: porque si no se trata de una energía infinita el electrón puede ser capaz de “robarla” durante un tiempo corto y entrar en una zona en la que, de acuerdo con la teoría clásica, no podría llegar.

Estoy convencido de que te vas a hacer la misma pregunta que me hice yo cuando leí esta interpretación por primera vez: sí, vale, el electrón “toma prestada” energía durante un corto tiempo y luego la “devuelve” antes de que podamos darnos cuenta… pero, ¿de dónde demonios la coge? ¿de dónde sale esa energía “extra”?

La respuesta no es fácil de aceptar, pero no tengo otra: no la saca de ninguna “parte”. La propia energía no está definida para períodos de tiempo cortos, y oscila como el agua de una piscina — vista de lejos y durante mucho tiempo, la superficie de la piscina es lisa y estática. Vista de cerca y en períodos de tiempo cortos, la superficie sube y baja en unos lugares y otros. De hecho, más que hablar de “energía robada” o “prestada” me gusta hablar de energía “borrosa”. Pero, al final, todo se reduce a lo de siempre: no es posible comprender realmente el comportamiento cuántico de la materia por estar tan lejos de cualquier cosa que podamos percibir. Sólo podemos aspirar a atisbar esbozos de su verdadera naturaleza (la otra opción es, ya sabes, “¡cállate y calcula!”).

Dentro de un par de semanas (quiero dejar un artículo más ligerito en medio para no apabullar) seguiremos con una entrada muy relacionada con ésta en la que hablaremos de un fenómeno que aparece muy a menudo en medios diversos y que, espero, tras entender la de hoy no tendrás ningún problema en comprender perfectamente — hablaremos del efecto túnel.