La ecuación de onda de Schrödinger (I)

Continuamos hoy nuestro viaje por las aguas traicioneras de la mecánica cuántica en la serie Cuántica sin fórmulas. Creo que es absurdo que leas este artículo si no has seguido la serie desde el principio — en ese caso, te recomiendo encarecidamente que empieces con el primer artículo. En este apunte se hace referencia a conceptos definidos y explicados en los anteriores, y probablemente no entiendas mucho si no conoces el asunto o has leído el resto de artículos.

En el artículo anterior hablamos, como espero que recuerdes, sobre la mecánica matricial de Werner Heisenberg y su principio de indeterminación. Hoy empezaremos a hablar sobre la segunda formulación matemática de la teoría cuántica, elaborada y publicada muy poco tiempo después de la de Heisenberg, y que supondría durante cierto tiempo (no muy largo, por otro lado) casi un cisma en la comunidad física. Estudiaremos la mecánica ondulatoria y la ecuación de onda de Schrödinger.

La realidad ondulatoria. Crédito: Wikipedia/GPL.

Como en el caso de las relaciones de indeterminación, este artículo requiere un grado de abstracción bastante mayor que la mayoría de los apuntes de El Tamiz. Por lo tanto, para empezar vamos a partir el asunto en tres entregas que serán publicadas con aproximadamente una semana de separación: una sobre la ecuación en sí, otra sobre la interpretación de la función de onda y finalmente otra sobre el principio de incertidumbre visto desde la mecánica ondulatoria. E incluso así, pido disculpas de antemano si mi pobre explicación no es capaz de aclararte las cosas lo suficiente — créeme, es muy difícil hacerlo eficazmente. Desde luego, al final de la tercera parte dejaré enlaces para seguir aprendiendo sobre el asunto.

Dicho todo esto, sigamos nuestro recorrido — en 1925, Heisenberg publica su mecánica matricial. Veamos qué sucedió entonces.

Ya mencioné en la primera parte del artículo sobre el principio de incertidumbre que a muchos físicos de la época la formulación matricial de Heisenberg les parecía aberrante, tanto por las suposiciones de las que partía como por la complejidad matemática y la dificultad de traducir las matemáticas a algo relacionado con el mundo real. De hecho, muchos intentaron elaborar formulaciones matemáticas alternativas que fueran más sencillas y fáciles de visualizar, pero hacía falta un talento y conocimiento similares a los de Heisenberg para tener éxito — hacía falta otro genio de su talla, pero afortunadamente lo había. Se trataba del austríaco-irlandés Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger.

Erwin Schrödinger.

No está de más repetir aquí la cita en la que se resume la opinión que le merecía a Schrödinger la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordan puesto que era compartida por una gran parte de la comunidad científica:

Conocía la teoría [de Heisenberg], por supuesto, pero me sentía descorazonado, por no decir repelido, por los métodos de álgebra trascendente, que me parecía muy complicada, y por la imposibilidad de visualización.

De modo que Schrödinger dedicó sus energías a tratar de obtener una formulación matemática más intuitiva y menos abstracta (como veremos, sólo tuvo éxito en parte), partiendo de una base diferente de la de Heisenberg. Como espero que recuerdes, Heisenberg basa su teoría en el concepto de Planck y Bohr de que todo está cuantizado: los “escalones de energía” en la luz y los niveles energéticos en los átomos, que se convierten en observables para él. La formulación de Heisenberg es, por lo tanto, una especie de afirmación en lenguaje matemático de que “todo es partículas”, y la consecuencia de esa cuantización de todo es el principio de incertidumbre.

El problema fundamental de la formulación de Heisenberg, y la causa de que sea tan compleja matemáticamente, es que la naturaleza discreta de la materia y la energía (especialmente de la energía) es muy difícil de visualizar para nosotros y, por lo tanto, nuestras matemáticas tienen problemas para traducirla en términos sencillos. La solución de Schrödinger fue basarse en todo lo contrario a lo de Heisenberg: sí, las ondas son partículas, pero las partículas son también ondas. Donde Heisenberg hace énfasis en la cuantización, Schrödinger lo hace en la naturaleza ondulatoria.

Las ondas son algo fácil de visualizar para nosotros, y sencillas de describir matemáticamente. De hecho, las ondas electromagnéticas tenían desde el siglo XIX una formulación matemática extaordinariamente precisa y elegante: las llamadas ecuaciones de Maxwell, propuestas por el genial James Clerk Maxwell en 1861. Desde luego, había resultado que esas ecuaciones sólo describían el comportamiento ondulatorio de la luz y otros fenómenos electromagnéticos, y no el corpuscular descubierto por Einstein, pero sus resultados seguían siendo igual de válidos para la mayor parte de las situaciones que en tiempos de Maxwell.

Bien, de acuerdo con la hipótesis de Louis de Broglie, la materia es también ondulatoria: las partículas son ondas. ¿No sería entonces posible tratarlas matemáticamente como tales, y obtener ecuaciones de onda igual que las de Maxwell, pero para la materia? Desde luego, las condiciones que deberían cumplir las “ondas de materia” serían diferentes de las de las electromagnéticas. Por ejemplo, deberían ajustarse a las leyes de la mecánica de Newton — una fuerza debería producir una aceleración proporcional a ella, tendría que existir una energía cinética, un momento lineal, etc.

Afortunadamente para él, como hemos visto a lo largo de la serie Planck y de Broglie ya habían propuesto ecuaciones que resolvían parcialmente sus problemas. De acuerdo con Planck, la energía de una partícula oscilante era proporcional a su frecuencia; según de Broglie, la longitud de onda de una partícula material en movimiento era inversamente proporcional a su velocidad. Sólo faltaba incorporar esas fórmulas a una o varias ecuaciones que no sólo contemplasen los conceptos de energía cinética o momento lineal, sino que también se ajustasen a todas las propiedades de las ondas — su oscilación en el tiempo, su estructura espacial, la frecuencia, longitud de onda, etc. Tela marinera.

En 1925, el mismo año de la publicación de la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordan, Erwin Schrödinger se retira a una casita de los Alpes suizos (tras abandonar a su mujer y llevarse a una antigua novia, pero eso es otra historia). Allí, lejos de las distracciones de la Universidad y la comunidad científica –desconozco qué tipo de distracciones le supondría la fémina en cuestión–, Schrödinger empieza a pensar sobre el asunto en profundidad.

Schrödinger prueba diversas funciones de onda (es decir, descripciones matemáticas de ondas), tratando de hacer que cumplan las ecuaciones de la mecánica clásica, pero tiene verdaderos problemas para lograrlo. Sin embargo, en un momento determinado, a finales de 1925, una chispa de inspiración resuelve todos sus problemas… aunque, como veremos, crea nuevas preguntas. De hecho, esto te va a sonar porque es casi igual que lo que les sucedió a Planck y al propio Heisenberg: Schrödinger encuentra una expresión matemática para la ecuación de onda que cumple perfectamente todas las condiciones que debe cumplir, y los resultados concuerdan precisamente con los experimentos. Todo es fantástico, pero esa función de onda no es una función real, sino compleja.

Desconozco tu nivel de conocimiento matemático, y no puedo ponerme aquí a explicar lo que son los números complejos. Lo importante es que incluyen el número i, es decir, la raíz cuadrada de -1, y son un conjunto de números de los que los números reales son sólo un subconjunto. Lo importante es que, en general, cualquier cosa que se pueda ver o medir en física es representada por un número real: la velocidad, la posición, la energía… De hecho, cuando en una ecuación física se obtiene un resultado con raíces negativas (un resultado complejo), suele decirse que la ecuación “no tiene solución”, puesto que los resultados complejos no son medibles.

Sin embargo, la función de onda de materia que propone Schrödinger es compleja por definición. Cuando el físico intenta utilizar funciones reales, éstas se comportan bien en determinadas ecuaciones, pero no son capaces de satisfacer tanto los requisitos de las ondas como los de la física clásica para las partículas. Cuando prueba con la función compleja, absolutamente todos los problemas desaparecen, excepto uno: ¿qué demonios significa que sea compleja? Si esto quiere decir que no existe, ¿cómo se explica que exista la materia? Si existe, ¿qué es? ¿qué está oscilando, y por qué no es real?

Dicho de otra manera: si la onda que describe un electrón es el electrón, y esa onda no es real sino compleja, luego no puede medirse, ¿es el electrón real? ¿puede observarse realmente, o sólo estimar algunas de sus propiedades? Como digo, aceptar una función de onda compleja es difícil de tragar conceptualmente.

Sin embargo, la parte matemática es todo lo contrario: Schrödinger propone una ecuación de onda muy sencilla, que actúa de manera similar a las de Maxwell, pero en vez de describir el comportamiento de las ondas electromagnéticas lo hace para las ondas de materia. Desde luego, no tiene comparación con la complejidad matemática de la formulación de Heisenberg.

Básicamente, la manera en la que la función de onda y la ecuación de Schrödinger describen la realidad es de la siguiente manera:

Se establecen las condiciones del sistema. Por ejemplo, un electrón se encuentra sometido a la atracción de un protón y no existe nada más cerca de él. Estas condiciones constituyen algunas de las variables en la ecuación de Schrödinger, y “construyen” la ecuación.

Se resuelve la ecuación de la onda, lo cual da una solución (o más de una): la función del electrón. Desafortunadamente, esa función es una función compleja y no representa ninguna magnitud física. Es “la función del electrón”. En un momento hablaremos más sobre esto.

Se manipula la función de onda matemáticamente para obtener información sobre la partícula en cuestión — un electrón en nuestro ejemplo. Si se hace una operación determinada con ella, se obtiene la energía del electrón. Si se hace otra cosa, se obtiene su posición, etc. Estos resultados sí son números reales, aunque la función no lo sea.

Creo que la clave de la cuestión, y la ruptura inevitable (como en cualquier formulación cuántica) con la física clásica, están bastante claras: toda la información sobre el electrón está condensada en una función matemática compleja, pero mirando la ecuación no se ve absolutamente nada real. Hace falta aplicar operaciones matemáticas (una para cada cosa que se puede medir del electrón), y se obtienen resultados que sí son reales. Las características de la onda (como su longitud de onda, su amplitud, si es estacionaria o no, etc.) determinan las características que se pueden medir de la partícula, pero indirectamente (hace falta calcular unas a partir de otras).

Sin embargo, cuando Schrödinger publica su propuesta a principios de 1926, en el artículo Quantisierung als Eigenwertproblem, la comunidad física la recibe con los brazos abiertos. Por un lado, las matemáticas involucradas son mucho más sencillas que las de Heisenberg y por otro, aunque la función de la onda del electrón no tenga un valor real, al menos es posible visualizar al electrón como una onda descrita por esa ecuación, de una manera similar en cierto sentido a un fotón que es una onda descrita por las ecuaciones de Maxwell.

Heisenberg, sin embargo, no recibe la ecuación de onda de Schrödinger demasiado bien. De hecho, “no demasiado bien” es un eufemismo. En palabras del propio Heisenberg,

Cuanto más pienso sobre la parte física de la teoría de Schrödinger, más repulsiva la encuentro [...]. Lo que Schrödinger escribe sobre la “visualizabilidad” de su teoría “probablemente no es del todo cierto”, en otras palabras, es una basura.

De hecho, las conversaciones entre Heisenberg, Schrödinger y Bohr (que trataba en cierta medida de reconciliar ambas interpretaciones) fueron bastante acaloradas, aunque es sorprendente lo bien que se llevaban a pesar de todo. Ni qué decir tiene que Einstein y de Broglie apoyaban a Schrödinger — el principio de incertidumbre repelía a Einstein, y tanto él como de Broglie estaban mucho más cómodos con la concepción ondulatoria de la materia que con las relaciones de indeterminación de Heisenberg.

Sin embargo, Schrödinger no acabó de contribuir al problema con el artículo original. Durante 1926 publicó varios otros en los que mostraba soluciones de su ecuación para casos sencillos, como el átomo de hidrógeno –del que hablaremos en la siguiente entrega de este artículo–, y algo mucho más importante:demostró matemáticamente que su teoría y la de Heisenberg eran equivalentes.

En otro artículo aplicó su ecuación de onda para obtener la onda del electrón en el átomo de hidrógeno: sus resultados para la energía del electrón eranexactamente los mismos que los del átomo de Bohr del que hemos hablado ya. Su ecuación funcionaba tan bien como la de Heisenberg en casos reales.

Es decir, aunque ambos partían de bases distintas y tomaban enfoques matemáticos muy diferentes (matrices infinitas por un lado y ondas complejas por otro), al final los resultados medibles eran los mismos. Desde luego, los pasos intermedios eran radicalmente distintos, pero si se quería una predicción de la velocidad o la energía de un electrón, el resultado era exactamente el mismo en uno y otro caso — de acuerdo con la demostración matemática de Schrödinger, debía ser siempre exactamente el mismo en las dos formulaciones matemáticas.

La mayor parte de los físicos, a partir de ese momento, se decantaron claramente por la formulación de Schrödinger para tratar sistemas físicos: si salía lo mismo al final, ¿por qué utilizar los abstrusos conceptos de Heisenberg y no la ecuación de onda, mucho más sencilla?

Sin embargo, la ecuación de Schrödinger prácticamente grita una pregunta cuando piensas en ella, y estoy seguro de que ya te has planteado esto antes, o bien en este mismo artículo o bien cuando hablamos sobre la hipótesis de de Broglie: ¿Qué demonios está oscilando?

Dicho de otra manera, cuando veo una onda en una cuerda no tengo problemas para ver lo que está pasando, qué oscila y qué sucede en cada punto y en cada momento. En algunos puntos, la onda tiene una cresta, donde la cuerda llega a su punto más alto. En otros, la cuerda está en su posición de equilibrio. Lo que significa la ecuación de la onda en la cuerda es evidente. Pero ¿y en el caso de un neutrón? Al contrario de lo que alguna gente piensa cuando oye estas ideas por primera vez, el neutrón no está oscilando como si fuera una canica unida a un muelle — el neutrón no oscila, el neutrón es la oscilación. Una oscilación compleja.

De modo que en la segunda parte del artículo, dentro de una semana, hablaremos acerca de la naturaleza de estas “ondas de materia”, cómo conectar la ecuación de Schrödinger con la realidad y cómo el genial Max Born, que ya había contribuido su talento a la mecánica de Heisenberg, haría lo mismo para Schrödinger y resolvería parte de los problemas de la ecuación de onda y su interpretación física. Puedes seguir con la segunda parte aquí.