Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas
La velocidad de un cuerpo de masa m, (satélite, planeta,...) que gira en torno a otro cuerpo de masa mucho mayor M en movimiento elíptico por influjo de la gravedad no es constante:
* es máxima en el Periastro,
* mínima en el Apoastro
* y tiene una velocidad intermedia entre esos dos valores en los restantes puntos de la elipse.
El objetivo de este desarrollo es realizar la deducción de la expresión del valor del módulo de la velocidad instantánea en cualquier punto de una órbita elíptica en función de la distancia r entre m y M. (m puede ser un planeta y M la estrella en torno a la que gira, por ejemplo, la Tierra y el Sol, o M puede ser la Tierra y m un satélite artificial,...)
Conservación de la energía: La energía mecánica total E en cualquier punto de la órbita es la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, y es constante, puesto que el campo gravitatorio es conservativo
Definimos la energía específica como la energía por unidad de masa en órbita:
Conservación del momento angular, (momento cinético): Por otro lado, en el sistema compuesto por los dos objetos M y m, al no existir momentos de fuerzas exteriores, también se conserva el momento angular, y por lo tanto en dos puntos arbitrarios cualquiera 1 y 2 de la órbita:
Apoastro, (o apoapsis)
La energía específica también es evidentemente constante en todos los puntos de la órbita y vamos a evaluarla en dos puntos particulares, el Periastro y el Apoastro
Periastro, (o periapsis)
Particularizando esta expresión para el Periapsis y el Apoapsis, que son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares:
A la expresión (3) le restamos la expresión (2)
En esta última expresión sustituimos (4)
Si a = semieje mayor de la elipse
Sustituyendo (5) en (3)
Luego la energía específica de un punto cualquiera de una órbita elíptica es
Y por lo tanto, el valor de la energía mecánica total en cualquier punto de una órbita elíptica es
Del mismo modo, sustituyendo (5) en la expresión del momento angular en el apoapsis, se obtiene el valor del momento angular de la órbita elíptica
e = excentricidad de la elipse
Finalmente, sustituyendo la expresión (6) en la (1)
Y de esta última se despeja la velocidad
ELIPSE
Casos particulares: órbitas circulares, parabólicas y caída libre en línea recta.
1) La órbita circular es un caso particular de la elipse en el que el radio vector es siempre el radio R de la circunferencia y por lo tanto constante
CIRCUNFERENCIA
2) Una órbita parabólica puede verse como el límite de una elíptica en la que el eje mayor se hace infinitamente grande, por lo tanto
PARABOLA
3) La caída libre en línea recta desde una distancia inicial
(partiendo del reposo), se deduce trivialmente de (1)
CAÍDA EN LÍNEA RECTA
4) Y finalmente, se da sin demostración el caso de órbita hiperbólica, en el que la expresión es:
HIPERBOLA