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Una estación espacial está situada en una órbita circular en torno a la Tierra, completando una vuelta en 3 h 15 min 27 s. Hasta dicha órbita se envía una carga de masa 961 kg, mediante la órbita elíptica BDE, de modo que B es el punto de lanzamiento y BE constituye el eje menor de la elipse. Determinar: a) el radio R de la órbita circular; b) la velocidad con que ha de lanzarse la carga en el punto B; c) la energía total, el momento angular y el período de la carga en la órbita elíptica; d) cuando la carga llega a D se la transfiere a la órbita circular mediante un impulso producido por una fuerza constante F, tangente a la trayectoria circular, actuando durante 70 s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza? e) si A es la posición de la estación espacial al lanzar la carga desde B y ambas llegan a la vez al punto D, ¿cuál es el ángulo ACD?
BC=RT; DC=R; g=9.8 m/s2; RT=6.37*106 m; úsese
; superficie de la elipse: S=pab.
¿A qué distancia h por encima de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es la mitad de su valor al nivel del mar?
Calcular la expresión de la verdadera velocidad v que alcanza a la altura h un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 en la superficie terrestre. Comparar esta velocidad con la velocidad v´ obtenida cuando suponemos que la gravedad permanece constante e igual a su valor en la superficie terrestre. Hallar la velocidad mínima en el lanzamiento necesaria para que el objeto nunca vuelva.
Suponer que se realiza un aterrizaje en un planeta de otro sistema solar que tiene la misma masa por unidad de volumen que la Tierra, pero su radio es 10 veces el de la Tierra. ¿Cuál sería tu peso en ese planeta comparado con el que tienes en la Tierra?
Un satélite gira a una distancia muy próxima a la Luna describiendo una órbita circular. La gravedad lunar es 1/6 de la terrestre y el radio 1/4 del terrestre. Si el satélite girara alrededor de la Tierra, también muy próximo a ella, con un período TT, ¿cuál sería el período de revolución del satélite lunar?
¿A qué distancia sobre la superficie terrestre se ha de mover un satélite artificial para que se halle siempre sobre el mismo punto de la Tierra?
Cuando la nave espacial Apolo II quedó en órbita alrededor de la Luna su masa era 9.979*103 kg, su período fue de 119 min y su distancia media al centro de la Luna fue 1.849*106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme, determine: a) la masa de ésta; b) la rapidez orbital de vehículo espacial; c) la energía mínima requerida para que el vehículo deje la órbita y escape de la gravedad lunar.
Un satélite viaja inicialmente en una órbita circular a 640 km sobre la superficie de la Tierra y su masa es 220 kg. a) Determinar su velocidad y su período. b) Por diversas razones, el satélite pierde energía mecánica a un ritmo (en promedio) de 1.4*105 J por cada revolución orbital completa. Adoptando la aproximación razonable de que la trayectoria es una circunferencia cuyo radio disminuye lentamente, determinar su distancia a la superficie de la Tierra, su rapidez y su período al final de 1500 revoluciones orbitales; c) ¿cuál es la magnitud de la fuerza retardadora media?
Un satélite de 4000 kg describe una órbita circular de 7000 km de radio alrededor de la Tierra. a) Al cabo de algún tiempo, como consecuencia de la fricción atmosférica, la órbita se reduce a otra circular de 6600 km. Calcular los cambios que experimenta la velocidad, la velocidad angular, el período de revolución y las energías cinética, potencial y total. b) Suponiendo que la resistencia del aire sobre el satélite represente una fuerza promedio de 2 N, estimar el tiempo necesario para la mencionada reducción del radio orbital. c) Hacer una estimación del número de vueltas que ejecuta el satélite durante ese tiempo.
Un cometa de masa M se observa a una distancia de 1011 m del Sol viajando hacia él a una velocidad de 5.16*104 m/s haciendo un ángulo de 45o con el radio vector del Sol. Obtener: a) su energía total y su momento angular; b) la ecuación de la órbita; c) la distancia de mayor cercanía al Sol.
a) Cuando la astronave Voyager I alcanzó el punto más cercano de su trayectoria en torno al planeta Júpiter, se observó que había una distancia de 350000 km del centro del planeta a la nave, y ésta tenía una velocidad de 26900 m/s. Determínese la masa de Júpiter suponiendo que la trayectoria de la astronave fuese parabólica. b) Algunos años después, la astronave Voyager II tuvo el punto más cercano de su trayectoria en torno a dicho planeta a una distancia de 715000 km del centro del planeta. Suponiendo que la trayectoria de la nave era parabólica determínese la velocidad máxima del Voyager II al acercarse a Jupiter.
Se observó que conforme la nave espacial Voyager I alcanzaba el punto de su trayectoria más cercano al planeta Saturno había una distancia de 185035 km desde el centro del planeta, y tenía una velocidad de 20970.24 m/s. Sabiendo que Tetis, uno de los satélites de Saturno, describe una órbita circular de radio 294447 km a una rapidez de 11338.56 m/s, determinar la excentricidad de la trayectoria del Voyager I al acercarse a Saturno.
A 500 km de altura se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie terrestre con una velocidad de 36900 km/h. Determinar: a) la máxima altura que alcanza el satélite; b) el período.
El satélite artificial Explorer IV describió una órbita elíptica alrededor de la Tierra con un período de 110 min 12 s 5/10. La altura de su perigeo es de 262 km y la de su apogeo de 2210 km, siendo la velocidad en el primero de dichos puntos de 8240 m/s. Calcular: a) la velocidad areolar; b) la velocidad en el apogeo; c) el semieje menor de la órbita.
El satélite Explorer III tuvo una órbita elíptica con un perigeo de 175 km sobre la superficie terrestre y una velocidad de 29620 km/h en su perigeo. Determinar: a) la excentricidad de su órbita; b) su semieje mayor; c) su período de revolución; d) su velocidad y altura en el apogeo.
Se lanza en la Tierra un satélite desde una altura de 2400 km con una velocidad inicial de 8000 m/s formando un ángulo de j0=75o con la vertical. Calcular las alturas máxima y mínima alcanzadas por dicho satélite.
Un vehículo espacial va a encontrarse con un satélite en órbita que circula en torno a la Tierra a una altura constante de 360 km. El vehículo ha alcanzado una altura de 60 km cuando se apagan sus motores y su velocidad v0 forma un ángulo j o=50o con la vertical OB en ese instante. ¿Qué magnitud debe tener v0 para que la trayectoria del vehículo sea tangente a A en la órbita del laboratorio?
Al agotarse el combustible, un cohete experimental ha alcanzado una altitud de 400 km y tiene una velocidad de v0=7500 m/s. ¿Qué ángulo debe formar la velocidad v0 con la vertical para que el cohete alcance una altitud máxima de 3000 km?
Un vehículo espacial que se mueve en una órbita circular de radio r1 cambia a otra órbita circular de radio mayor r2 mediante un tramo elíptico desde A hasta B (ésta trayectoria de cambio se conoce como elipse de cambio de Hohmann). El salto se realiza mediante un incremento brusco de celeridad DvA en A y un segundo incremento DvB en B. Escríbanse las expresiones de DvA y DvBen función de los radios indicados y del valor g de la gravedad en la superficie terrestre. Si ambos Dv son positivos, ¿cómo puede suceder que la celeridad en la órbita 2 sea menor que en la 1? Calcular el valor numérico de cada incremento de velocidad si r1=6700 km y r2=7020 km.
El programa de un vuelo no tripulado para explorar el planeta Marte establece que el vehículo de regreso a la Tierra describirá en primer lugar una órbita circular alrededor del planeta. Al pasar por el punto A será transferido a una órbita elíptica de transición encendiendo sus motores para aumentar su velocidad en DvA. Cuando pase por el punto B, el vehículo volverá a ser transferido a una segunda órbita de transición, disminuyendo la velocidad en DvB. Finalmente, al pasar el vehículo por el punto C se aumentará su velocidad en DvC para situarlo en la trayectoria parabólica de retorno. Sabiendo que el radio del planeta Marte es R=3400 km, que su masa es 0.108 veces la masa de la Tierra y que las alturas de los puntos A, B y C son dA=2500 km, dB=90000 km y dC=1000 km respectivamente, determinar: a) el aumento de velocidad DvA que es necesario proporcionar al vehículo en el punto A para transferirlo a la primera órbita de transición; b) la variación de velocidad DvB que es necesario proporcionar al vehículo en el punto B para transferirlo a la segunda órbita de transición; c) el aumento mínimo de velocidad DvC que es preciso proporcionar al vehículo en el punto C para situarlo en una trayectoria de escape; d) el tiempo empleado por el vehículo para recorrer la primera órbita de transición entre los puntos A y B.
Dos estaciones espaciales S1 y S2 recorren en sentido antihorario órbitas coplanarias en torno a la Tierra de radios r0=7000 km y 8r0 respectivamente. 1º) Se desea enviar un vehículo desde S1 hasta S2, y para ello ha de ser lanzado tangencialmente a la órbita de S1 y ha de alcanzar a S2 con una velocidad tangente a la órbita de ésta. Tras un período muy corto de vuelo propulsado, el vehículo irá en vuelo libre de S1 a S2. a) Determinar la velocidad de lanzamiento del vehículo (velocidad relativa a S1). b) Determinar el ángulo q que define la posición a ocupar por S2 en el momento del lanzamiento. 2º) Inmediatamente después de que S1 lance el vehículo, se pretende hacer regresar a la Tierra dicha estación espacial disminuyendo su velocidad de forma prácticamente instantánea. De esta forma se inicia una trayectoria elíptica de acercamiento a la Tierra, trayectoria cuyo apogeo es el mismo punto en que S1 lanzó el vehículo. Determinar la velocidad de aterrizaje, si el ángulo que define el punto en que aquél se produce es -45o.
Tras completar su misión de exploración en la Luna los astronautas que componen la tripulación de un módulo de exploración lunar Apolo se disponen a reunirse con el módulo de mando que está en órbita sobre la Luna a 140 km de altura. Para ello encienden los motores del módulo lunar y siguen una trayectoria curva hasta un punto A, 8 km por encima de la superficie lunar, donde apagan los motores. Sabiendo que en ese instante el módulo lunar se mueve paralelamente a la superficie de la Luna y que seguirá avanzando a lo largo de una trayectoria elíptica para encontrarse con el módulo de mando en el punto B, determinar: a) la velocidad del módulo lunar al apagarse los motores; b) la velocidad relativa con que el módulo de mando alcanzará al módulo lunar; c) una vez que el módulo lunar se incorpora al módulo de mando, la nave espacial Apolo gira sobre sí misma para que el módulo lunar quede mirando hacia atrás. Después de recorrer una órbita completa, cuando la nave vuelve a pasar por el punto B, el módulo lunar es lanzado a la deriva y se estrella contra la superficie lunar en el punto C. Determinar su velocidad relativa respecto al módulo de mando cuando es lanzado a la deriva, sabiendo que el ángulo BOC es de 90o. El punto B es el apogeo de la trayectoria elíptica de choque.
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta m1 se mueve en una órbita circular de radio 1*108 km y un período de dos años. El planeta m2 se mueve en una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r1=1*108 km y la más alejada r2=1.8*108 km, según se ve en la figura. a) Hallar el período de la órbita de m2; b) ¿Cuál es la masa de la estrella? c) ¿Qué planeta tiene mayor velocidad en el punto P? ¿Cuál tiene mayor energía total? d) ¿Cómo es en comparación la velocidad de m2 en el punto P respecto a la del punto A?
Una nave espacial describe una órbita circular de radio r0 a una velocidad v0, en torno a un cuerpo celeste indeterminado de centro O. Cuando se encienden los motores de la nave, su velocidad aumenta de v0 a av0 describiendo entonces una órbita elíptica. Demostrar que en esta nueva órbita la distancia máxima alcanzada por la nave depende únicamente de r0 y a , y expresar el cociente rmáxima/r0 en función de a.
Una nave espacial recorre una órbita circular a 3200 km sobre la superficie terrestre. Para regresar a la Tierra reduce su velocidad a un valor v0=5400 m/s e inicia de este modo una trayectoria elíptica. Determinar el valor de q que define el punto B donde tiene lugar el amerizaje.
Después de concluir su misión de exploración en la Luna, los dos astronautas que formaron la tripulación del módulo de excursión lunar Apolo (LEM) se reunirían con el módulo de comando que había permanecido en una órbita circular alrededor de la Luna. Antes de su regreso a la Tierra, los astronautas pondrían su nave en una posición adecuada, de modo que el LEM se colocaría hacia la parte posterior de ésta. Cuando el módulo de comando pasara por A, el LEM se dejaría a la deriva, para estrellarse sobre la superficie de la Luna en el punto B. Sabiendo que el módulo de comando se encontraba en una órbita alrededor de la Luna a una altitud de 120 km, y que el ángulo AOB fue de 50o, determínese la velocidad del LEM relativa al módulo de comando al dejarse a la deriva. El punto A es el apogeo de la trayectoria elíptica de choque y la masa de la Luna es 0.0123 veces la masa de la Tierra.
Un vehículo se encuentra en una órbita circular a 600 km de altura sobre la superficie terrestre, moviéndose en sentido horario. Se pretende transferir dicho vehículo a otra órbita circular a 300 km de altura sobre la superficie terrestre. Para ello, el vehículo describirá una órbita elíptica de transición desde A hasta B. a) Calcular la velocidad del vehículo en la primera órbita circular. b) Calcular el incremento de velocidad que hay que proporcionar al vehículo en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición. c) Para producir el cambio de velocidad los motores del vehículo ejercen una fuerza de frenado de 1675.8 N. Si la masa del vehículo es de 600 kg, ¿durante cuánto tiempo debe ejercerse esta fuerza? d) Calcular el período de la órbita de transición. e) Calcular el incremento de velocidad que hay que proporcionar al vehículo en el punto B para transferirlo a la segunda órbita circular. f) Una vez en la segunda órbita circular, al pasar por el punto C, al vehículo se le disminuye la velocidad en 575.6 m/s, situándolo en una nueva órbita elíptica de retorno a la Tierra, órbita cuyo apogeo es el punto C. Calcular el ángulo FOD que define el punto de aterrizaje (punto D) y la altura a la cual estará el vehículo en el punto E,cuando el ángulo FOE sea 160o.
Una estación espacial S se está montando en su órbita circular a 1280 km sobre la Tierra. El cargador de elementos P junto con el cohete portador tiene una masa de 785 kg y se pone en órbita de aproximación en P a 480 km sobre la superficie terrestre. Calcular: a) los períodos de las órbitas (circular y elíptica) correspondientes a la estación S y a la carga P; b) el ángulo q que describe la posición relativa entre S y P en la puesta en órbita de P de forma que la maniobra de acoplamiento tenga lugar en A según trayectorias paralelas; c) si el cohete portador puede desarrollar un empuje de 890 N, calcular en segundos el tiempo t durante el cual deben encenderse sus motores en las proximidades del punto A para igualar su velocidad a la de la estación S; d) una vez acoplados el cargamento y la estación, ambos realizan una órbita circular completa. Al pasar de nuevo por el punto A se reduce la velocidad del conjunto para iniciar la maniobra de aterrizaje. De este modo se inicia una trayectoria elíptica de aproximación a la Tierra cuyo apogeo es el punto A. Determinar el incremento de velocidad que debe producirse en el punto A para que el aterrizaje tenga lugar a un ángulo de -90o (punto C).
Obtener el campo gravitacional producido por una capa delgada de materia extendida sobre un plano infinito de densidad superficial s.
Calcular el potencial y el campo gravitacional producido por una capa esférica de masa m y radio a en puntos exteriores e interiores a la misma.
Calcular el campo y el potencial gravitacional creados por una esfera maciza de masa m y radio a homogénea en un punto interior y exterior a la misma.
Calcular la fuerza gravitatoria que ejerce una esfera maciza de radio R, de densidad r=2r2 sobre una partícula puntual de masa m que dista r del centro de la esfera.
La densidad de la Tierra en un punto situado a una distancia r del centro de la misma viene dada por la expresión:
siendo r0=10 g/cm3 y R=6370 km. Se pide: a) la masa de la Tierra; b) sean g y g0 los valores de la gravedad a distancias r y R del centro de la Tierra. Hallar g/g0; c) determinar el valor de g/g0 en el caso en que r=R/2.
Calcular la fuerza gravitatoria ejercida por una varilla delgada y homogénea de masa M y longitud l sobre una masa puntual m situada en el eje de la varilla a una distancia "a" del centro de la varilla.
La fuerza de atracción gravitatoria de las dos bolas de masas iguales de la figura es:
¿Cuál sería el flujo de campo gravitatorio que atraviesa las botellas en los tres casos representados en la figura?
El módulo lunar, que se halla en reposo sobre la superficie de la Luna, ha de volver al módulo de mando que está recorriendo una órbita circular 80 km por encima de la superficie de la Luna. Determinar: a) la velocidad (módulo, dirección y sentido) con la que ha de abandonar el módulo lunar la superficie de la Luna para encontrarse con el módulo de mando en la forma que se indica; b) en cuánto ha de aumentar su celeridad el módulo lunar en su apocentro para completar su encuentro con el módulo de mando; c) una vez en el punto A, el módulo de mando y el módulo lunar se acoplan (el peso de ambos es de 12000 kg). Después de dar una vuelta completa a la órbita circular y al pasar de nuevo por el punto A, el sistema comienza una órbita de alunizaje, órbita cuyo apocentro es el punto A. Para pasar a la órbita de alunizaje se conecta el motor por poco tiempo. La velocidad relativa de los gases que salen de la tobera del cohete es u=104 m/s. Calcular la masa de combustible que habrá que gastar para que, si el motor se conecta en el punto A de la trayectoria, la nave se pose sobre la Luna en el punto B; d) el ángulo que formarán entre sí los vectores posición (respecto del centro de la Luna) y velocidad de la nave cuando ésta tenga una velocidad de 1662 m/s.
Datos: masa de la Luna: 7.35·1022 kg; G=6.67·10-11 Nkg2m-2; radio de la Luna: 1740 km.
Dos cargas q1 y q2 cuando se combinan dan una carga total de 6 mC. Cuando están separadas 3 m la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8 mN. Hallar q1 y q2 si: a) ambas son positivas de modo que se repelen entre sí; b) una es positiva y la otra negativa de modo que se atraen entre sí.
Tres cargas, cada una de magnitud 3 nC están en los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra es negativa. Determinar la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga q=3 nC situada en el vértice restante.
Tres cargas puntuales están alineadas sobre el eje Y. Una carga q1=-9 mC está en y=6 m y una carga q2=-8 mC está en y=-4 m. ¿Dónde debe ser colocada una tercera carga q3 para que la fuerza neta sobre ésta sea cero?
Dos cargas iguales positivas de valor q1=q2=6 nC están en el eje Y en puntos y1=3 cm e y2=-3 cm. a) ¿Cuál es el valor y dirección del campo eléctrico en el punto del eje X para el cual x=4 cm? c) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una carga de prueba q0=2 nC situada en el punto x=4 cm?
Calcular el campo creado en el centro del hexágono regular de la figura. Lado del hexágono: l=10 cm; q=10 mC.
Un electrón tiene una velocidad inicial de 2·106 m/s en la dirección y sentido del eje de las X. Entra en el interior de un campo eléctrico uniforme E=400j N/C que tiene la dirección Y. a) Hallar la aceleración del electrón; b) ¿cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección X? c) ¿cuál será el valor y la dirección de la desviación del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección X? Datos: me=9.1·10-31 kg; qe=-1.6·1019 C.
Un protón tiene una velocidad inicial de 4.5·105 m/s en la dirección horizontal. Entra en un campo eléctrico de 9.6·103 N/C dirigido verticalmente. Ignore cualquier efecto gravitacional y determine: a) el tiempo que le toma al protón recorrer 5 cm horizontalmente; b) el desplazamiento vertical del protón después de recorrer 5 cm horizontalmente; c) las componentes vertical y horizontal de la velocidad del protón después de recorrer 5 cm horizontalmente. mp=1.67·10-27 kg; qp=1.6·10-19C.
Los protones son lanzados con una velocidad inicial dada por vo=9.55·103 m/s dentro de una región donde el campo eléctrico uniforme presente es E=-720j N/C, como se muestra en la figura. Los protones chocan en un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde los protones son lanzados. Determine: a) los dos ángulos q de lanzamiento con los que se dará en el blanco; b) el tiempo total de vuelo para cada una de estas trayectorias.
Se disponen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado centrado en el origen como se indica a continuación: q en (-a, a), 2q en (a, a), -3q en (a, -a) y 6q en (-a, -a). Calcular: a) el campo eléctrico en el origen; b) el potencial en el origen; c) se sitúa una quinta carga +q (de masa m) en el origen y se libera desde el reposo. Calcular su velocidad cuando se encuentra a una gran distancia del origen.
Aplicar el teorema de Gauss al cálculo del campo eléctrico creado por una superficie plana cargada uniformemente. La densidad superficial de carga de la lámina es s.
Un anillo y un disco uniformemente cargados tienen cada uno una carga de 25 mC y un radio de 3 cm. Para cada uno de estos objetos cargados determine el campo eléctrico en un punto a lo largo del eje del objeto el cual está a 4 cm del centro de éste.
Dos conductores esféricos concéntricos de radios R1 y R2 (R12) tienen cargas Q1 y Q2respectivamente. Calcular, con ayuda del teorema de Gauss, el campo eléctrico: a) en el interior de la esfera de radio R1 (01); b) en la superficie de la esfera de radio R1 (r=R1); c) en la región limitada por las dos superficies (R12); d) en la superficie de la esfera de radio R2 (r=R2); e) en el exterior (r>R2).
Una estación espacial se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a 400 km de altura sobre la superficie. Se pretende enviar desde la Tierra una lanzadera hasta dicha estación. Sabiendo que cuando la lanzadera está a una altura de la superficie de la Tierra de 45 km y se apaga el motor, la velocidad v0 forma un ángulo f0=53o con la vertical (ver figura) y que la trayectoria que sigue es tangente en A a la órbita de la estación, determinar: a) la velocidad y el período de la estación espacial; b) la velocidad v0 de la lanzadera; c) el incremento de velocidad en A para que la lanzadera pueda acoplarse a la estación espacial. Datos: G=6.67·10-11 Nm2/kg2; MT=6·1024 kg; RT=6370 km.
Siguiendo una trayectoria parabólica (ver figura) una astronave llega al punto A con una velocidad vA de módulo 20254 m/s. Al objeto de observar periódicamente a Tetis (una de las lunas de Saturno), que describe una órbita circular alrededor de Saturno de 294450 km, la astronave debe situarse en una órbita elíptica en torno al planeta. Hallar: a) el tiempo que Tetis tarda en dar una vuelta alrededor de Saturno; b) la disminución de velocidad que debe sufrir la astronave en A para entrar en la órbita elíptica; c) la velocidad cuando llega al punto B; d) la ecuación de la órbita de observación que describe la astronave; e) el ángulo b que define la posición de Tetis, cuando la astronave está en el punto A para evitar la colisión de ambos en B.
Un cohete lanzado desde la superficie terrestre lleva una celeridad de 8850 m/s cuando finaliza la propulsión a una altitud de 550 km. En ese instante, la trayectoria del cohete está inclinada 84orespecto a la recta radial que pasa por el centro de la Tierra. Determinar: a) la excentricidad e de la trayectoria; b) la altitud del cohete en el perigeo; c) la velocidad del cohete en el apogeo y en el perigeo; d) el período de la órbita.
Datos: Masa de la Tierra M=6·1024 kg; radio de la Tierra R=6370 km; constante de gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2.
Dos naves espaciales, Galileo (G) y Sócrates (S), se encuentran en dos órbitas circulares en torno a la Tierra, moviéndose con velocidades de 7072.84 m/s y 7561.18 m/s, ambas en sentido horario. Se quiere hacer que la nave Galileo se acople con Sócrates justo en el punto P. Para ello, Galileo parte del punto G y Sócrates del punto S en un cierto instante. Al llegar al punto A, Galileo disminuirá su velocidad para situarse en una órbita elíptica de transición (elipse AP), y posteriormente volverá a disminuirla en el punto P acoplándose con Sócrates. Determinar: a) incremento de velocidad que debe producirse en la nave Galileo en el punto A para pasar de la primera órbita circular a la órbita elíptica de transición; b) incremento de velocidad que debe producirse en dicho vehículo en el punto P para transferirlo a la segunda órbita circular; c) velocidad areolar del vehículo Galileo en la primera órbita circular; d) período de la órbita de transición; e) el ángulo q que define la posición a ocupar por el vehículo Sócrates al inicio de la maniobra para que el acoplamiento se produzca en el punto indicado (despreciar el tiempo invertido en los incrementos de velocidad). Datos: masa de la Tierra M=6·1024 kg; radio de la Tierra R=6370 km; constante de gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2.
Una lanzadera L de masa 2700 kg y un satélite S describen órbitas circulares en torno a la Tierra de alturas 290 km y 611 km respectivamente. Para poder recuperar el satélite, la lanzadera se coloca primero en una trayectoria elíptica BC aumentando su celeridad cuando pasa por B en 68.30 m/s. Después aumenta nuevamente su velocidad en C en 89.95 m/s para introducirla en una segunda órbita elíptica de transición CD. Sabiendo que la distancia del punto C al centro de la Tierra es de 6900 km, determinar:
a) las velocidades de la lanzadera y el satélite en sus órbitas circulares respectivas; b) la masa del satélite si la fuerza de atracción gravitatoria sobre el mismo es el 91.02% de la fuerza de atracción gravitatoria sobre la lanzadera en sus órbitas iniciales; c) la velocidad areolar de la lanzadera en la segunda órbita elíptica; d) el incremento de velocidad de la lanzadera en D para pasar a la órbita del satélite.
Datos: RT=6370 km; MT=6·1024 kg; G=6.67·10-11 Nm2/kg2.
Se pretende transportar material de reparación desde la Tierra a una estación espacial que está describiendo una órbita circular a 600 km sobre la superficie de la Tierra. Para ello se utiliza una lanzadera que describirá la órbita elíptica de aproximación que aparece en la figura (de la que se dibuja el tramo BA). La lanzadera asciende 60 km desde la superficie de la Tierra, apaga los motores en el punto B y con la velocidad vB (de la que se sabe forma 60o con su radio vector como indica el dibujo) entra en la órbita elíptica, realizándose el acoplamiento de la lanzadera y la estación espacial en el punto A, donde ambas órbitas son tangentes. Determinar: a) la velocidad y el periodo en la órbita de la estación espacial; b) la velocidad vB de la lanzadera; c) el incremento de velocidad de la lanzadera en el punto A para que tenga lugar el acoplamiento; d) el ángulo b que define la posición de la estación espacial en el instante en que la lanzadera está en B, sabiendo que la lanzadera tarda 20 minutos en llegar al punto de encuentro A; e) después de cumplir su misión, la lanzadera vuelve a la tierra. Calcular la disminución de velocidad de la lanzadera en el punto D (apogeo de la órbita elíptica de regreso, señalada en la figura, tramo DC) para que aterrice siguiendo esa órbita en el punto C.
Datos: RTierra=6370 km; MTierra=6·1024 kg; G=6.67·10-11 Nm2/kg2.
La nave espacial “Calister” orbita en torno a la Tierra describiendo la trayectoria elíptica (1). Las distancias de la nave al centro de la Tierra en el apogeo y perigeo son 20000 km y 10000 km respectivamente. Determinar: a) la velocidad de la nave en dichos puntos; b) la ecuación de la cónica que describe esta trayectoria. c) En el apogeo, la nave “Calister” enciende los motores para frenarse y pasar a una nueva orbita elíptica (2). En esta nueva órbita elíptica la nave debe tener una velocidad en su perigeo de 8116 m/s. Determinar la distancia de máxima aproximación a la Tierra para la nueva órbita elíptica (2). d) Finalmente la nave “Calister” desea encontrarse con la nave “Epolus” que se encuentra describiendo la orbita circular (3). Determinar la variación de velocidad que se debe comunicar a la nave “Calister” en las proximidades del perigeo de la órbita elíptica (2) para que tenga lugar el acoplamiento de ambas en dicho punto; e) determinar la posición en que debe encontrarse “Epolus” cuando “Calister” esté en su apogeo (q), para que tenga lugar dicho acoplamiento de ambas en el perigeo de “Calister”.
Datos: G=6.67•10-11 Nm2kg-2; MTierra = 6.1024 kg
Un trasbordador espacial S y un satélite de comunicaciones A se encuentran en las órbitas circulares que se muestran en la figura. Para recuperar el satélite el trasbordador se ubica primero en una trayectoria elíptica BC incrementando su velocidad cuando pasa por B en DvB=85 m/s; después, cuando el trasbordador se aproxima a C (apogeo de la órbita BC) su velocidad se incrementa en DvC para incorporarlo a la segunda órbita CD de transferencia elíptica, y finalmente se incrementa su velocidad en D para insertarlo en la órbita circular del satélite. Determinar: a) la distancia desde el centro de la tierra al punto C (rC); b) el incremento de velocidad en C DvC; c) el incremento de velocidad en D DvD; d) el periodo de la segunda elipse de transferencia; e) el ángulo f que define la posición del satélite cuando el trasbordador entra en la segunda órbita de transferencia para que se encuentren en D.
RTierra=6370 km; MTierra=6•1024 kg; G=6.67•10-11 N m2/kg2
Se pretende colocar una sonda espacial en una órbita circular de 4000 km de radio alrededor de Marte. Para ello cuando la sonda llega a A, punto de su trayectoria de aproximación más cercano a Marte, se inserta primero en una órbita elíptica de transferencia reduciendo su velocidad en DvA. Esta órbita la lleva hasta el punto B con una velocidad muy reducida. Ahí la sonda es insertada en una segunda órbita de transferencia reduciendo su velocidad en DvB. Finalmente cuando llega al punto C se introduce en la órbita circular deseada reduciendo su velocidad en DvC. Sabiendo que rA=9000 km, que DvA= 440 m/s y que la sonda se aproxima a A siguiendo una trayectoria parabólica, hallar: a) la distancia rB del centro de Marte al punto B; b) el incremento de velocidad DvB; c) el tiempo que tarda la sonda en pasar de A hasta B en su primera órbita de transferencia; d) el incremento de velocidad DvC; e) la ecuación de la segunda órbita de transferencia.
G=6.67•10-11Nm2/kg2 y MMarte=6.444•1023kg.
Un satélite recorre una órbita circular situada 10000 km por encima de la superficie terrestre. En el punto A se reduce su velocidad para situar al satélite en una órbita elíptica de transición cuya altitud mínima es de 5000 km en el punto B. En el punto B se vuelve a reducir la velocidad del satélite para introducirlo en una trayectoria circular. Por último, tras dar una vuelta completa y pasar de nuevo por el punto B se reduce la velocidad nuevamente para insertar el vehículo en una trayectoria elíptica de aterrizaje cuyo apogeo es el punto B. Determinar: a) la disminución de velocidad DvA que hay que proporcionar al vehículo en el punto A para pasar de la órbita circular grande a la elíptica de transición; b) el período de la trayectoria elíptica de transición; c) la excentricidad de dicha órbita; d) la disminución de velocidad DvB que se debe comunicar al satélite en el punto B para situarlo en la trayectoria circular pequeña; e) si la reducción de velocidad del satélite para la inserción en la trayectoria de aterrizaje es de 2100 m/s, ¿a qué ángulo se producirá éste?
Datos: masa de la Tierra: M=6•1024 kg; radio de la Tierra: R=6370 km; constante de gravitación universal: G=6.67•10-11 Nm2/kg2.
Un cohete se observa desde la Tierra a 14000 km del centro de ésta, con una velocidad de 28000 km/h. El ángulo entre los vectores posición (medido desde el centro de la Tierra) y velocidad es de 41o. a) Determinar el tipo de órbita que describe el cohete, su energía total y su momento angular. En su recorrido posterior y a una distancia de 10000 km del centro de la Tierra se quiere que pase a una órbita elíptica en torno a la misma. Para ello se encienden los motores de forma que su velocidad pasa a ser 16000 km/h y se inclina la nave de forma que en dicha posición el ángulo entre los vectores posición (medido respecto a la Tierra) y velocidad es de 28o. Determinar: b) el incremento de velocidad que ha sido necesario comunicar a la nave en dicho punto; c)la velocidad de la nave en el perigeo y apogeo de la nueva órbital; d) el semieje mayor y la ecuación de la misma: e) el ángulo al que se produciría el choque del cohete con la Tierra si continuase en dicha órbita.