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Quali sono le difficoltà più frequenti fra i preadolescenti sui numeri relativi?
IL SEGNO: OPERATORE O PARTE DEL SEGNO?
Secondo quanto evinto dalla prof.ssa Laura Bofferding*, dell'Università di Stanford, didatta dedita allo studio dell'insegnamento-apprendimento dei numeri relativi, il segno “–” acquista 3 significati presso i discenti:
binario: operatore di sottrazione;
simmetrico: opposto del suo corrispondente positivo (per esempio: -3 è l'opposto di 3);
unario: numero con il segno "-" (per esempio: -3 è 3 negativo).
Gli studenti tenderebbero a preferire l’interpretazione binaria del segno (avendo considerato nei primi 2 anni i numeri assoluti e ritenuto + e - esclusivamente degli operatori), talvolta quella simmetrica e meno spesso quella unaria. Di conseguenza, sono propensi a considerare le somme algebriche come sequenze di addizioni e sottrazioni di numeri assoluti (naturali):
Esempio: -17+20 = 0 - (17) + (20)
Ora: poiché il segno negativo è parte esplicita dei numeri negativi anche in assenza di altri termini, è preferibile orientare i ragazzi a considerare i segni "+" e "-" come parte del numero e l'operatore + sottinteso:
Esempio: -17+20 = (-17) + (+20)
Ciò permette di comprendere l'autentico significato di somma algebrica e di apprezzarne la commutatività. A questo scopo, ho ideato la notazione dei "palloni" o "riquadri", cioè cerchiare o riquadrare di uno stesso colore (blu) ogni numero positivo con il proprio segno e di un altro (rosso) ogni numero negativo con il proprio segno:
POSITIVO O MAGGIORE DI ZERO?
Per quanto visto, non risulta immediato per i preadolescenti ritenere equivalenti le espressioni:
"positivo" e "> 0";
"negativo" e "< 0".
Diventa, perciò, molto importante caldeggiare e favorire la visualizzazione dei numeri sugli assi cartesiani, prima separati (asse x = asse del tempo; asse y = asse della temperatura) e poi congiunti (piano cartesiano): questo permetterà di considerare naturalmente la positività o la negatività rispetto allo zero.
RAPPRESENTAZIONI: RETTA DEI NUMERI, MODELLO DELLE CARICHE ELETTRICHE, FUNZIONE DELL'OPPOSTO O REGOLA DEI SEGNI?
Uno degli ostacoli più grandi alla comprensione dei numeri relativi è l'impossibilità di una rappresentazione tangibile per quantità negative: se, infatti, i numeri positivi possono facilmente essere rappresentati con gli oggetti, come fare per rappresentare ciò che... non c'è?
Qualche anno fa ho intravisto una possibilità di superamento del problema occhieggiando alla chimica: considerare gli elettroni nella loro negatività tangibile! Ho, dunque, elaborato il modello delle cariche elettriche che rende particolarmente evidente ogni somma algebrica, con la sorpresa di vederlo poi ripreso anche da altri didatti della matematica.
Naturalmente non è l'unico tipo di rappresentazione possibile e non è affatto detto che incontri le propensioni di pensiero di tutti gli studenti. Perciò credo che sia importante proporlo nell'ambito di un set di possibilità fra loro alternative e, al tempo stesso, reciprocamente integrative:
{retta dei numeri; cariche elettriche; funzione dell’opposto; regola dei segni}
Ogni discente potrà scegliere quale adottare di preferenza, ma le altre resteranno comunque una valida possibilità di metacognizione e di controllo.
IL VALORE ASSOLUTO: NUMERO SENZA SEGNO O CON?
Spesso si sente dire ancora oggi che il valore assoluto di un numero relativo sia "il numero senza il segno", per ingenuità, ma è proprio sbagliato! Il valore assoluto un segno ce l'ha: quello positivo. Il valore è "ab-soluto" non dall'avere un segno, bensì dal segno che ha l'argomento!
Ed è importante che questo venga detto in modo chiaro; diversamente si ostacola la comprensione del valore assoluto come funzione!
Detto questo, è interessante notare come la definizione semplicista di "numero senza il segno" storicamente, nel XVII secolo, sia stata una tappa importante nell'evoluzione del concetto matematico di valore assoluto.
* Bofferding, L. (2010). Addition and subtraction with negatives: Acknowledging the multiple meanings of the minus sign. Proceedings of the 32nd Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 6, 703–710.
* Bofferding, L. (2014). Negative integer understanding: Characterizing first graders. National Council of Teachers of Mathematics, 45, 194–245.
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