Als je nadenkt over deze vragen, dan blijkt dat er verschillende soorten bewijzen kunnen worden onderscheiden, ieder met zijn eigen mate van (on)zekerheid. In het Engels bestaan er twee verschillende woorden 'proof' en 'evidence', die in het Nederlands vaak vertaald worden door 'bewijs'. Het woord 'proof' heeft de betekenis van 'hard bewijs', terwijl 'evidence' meer de betekenis heeft van 'aanwijzingen'.
Soorten bewijzen
1. Wiskundig bewijs
Het sterkste bewijs vinden we in de wiskunde.
In de wiskunde bestaat een bewijs uit het volgens formele regels aantonen dat, gegeven bepaalde axioma's, een bepaalde bewering waar is.
Als iets wiskundig bewezen is, dan staat het volgens de gangbare opvatting ontwijfelbaar vast. Toch vallen er bij deze methode van bewijsvoering wel enkele kanttekeningen te maken:
a. De bewijsvoering begint met bepaalde axioma's. Een axioma (of postulaat) is - per definitie - een onbewijsbare, maar als grondslag aanvaarde bewering. Het is een basisaanname die we op grond van onze intuïtie voor waar houden. Voorbeelden zijn de axioma's van Peano voor het rekenen met de natuurlijke getallen, en de axioma's van de Euclidische meetkunde.
b. Om uit axioma's nieuwe beweringen (stellingen) af te leiden, wordt in de wiskunde gebruik gemaakt van de wiskundige logica. De wiskundige logica geeft de voorwaarden aan, waaraan een wiskundig bewijs moet voldoen. Maar ook deze regels voor het geldig redeneren zijn - per definitie - onbewijsbaar.
c. Alle stellingen (alle ware beweringen) die we op grond van een bepaalde verzameling van axioma's kunnen formuleren, liggen in feite besloten in de axioma's. In die zin zou je kunnen zeggen dat de gevonden stellingen strikt genomen geen nieuwe kennis of informatie oplevert. Uit de axioma's voor het rekenen met natuurlijke getallen kunnen we afleiden dat 1+1=2, maar ook 1+2=3, en 1+3=4, etc. etc. Maar we beschouwen het oneindig aantal van alle mogelijke optellingen niet als wezenlijk nieuwe kennis. In die zin vormt een verzameling axioma's met alle daaruit af te leiden stellingen een gesloten systeem. We beschouwen ze als waar, maar zowel de axioma's als de redeneerregels zijn onbewezen, want onbewijsbaar. Ze zijn uiteindelijk gebaseerd op intuïtie!
d. Kurt Gödel (1906-1978) heeft bewezen dat binnen ieder consistent axiomatisch systeem van voldoende kracht om de getaltheorie in uit te drukken, stellingen te formuleren zijn, die noch bewezen, noch ontkracht kunnen worden binnen dat systeem, en dus onbeslisbaar zijn. Gödel heeft deze ontdekkingen uitgedrukt in zijn onvolledigheidsstellingen. In deze zin is het axiomatisch systeem dus niet gesloten!
Er is iets paradoxaals aan het wiskundig bewijs. De wiskunde is geen empirische, maar een formele wetenschap. We kunnen geen experimenten doen om de waarheid of geldigheid van een wiskundige bewering te toetsen. Toch passen we de wiskunde dagelijks met succes toe op onze empirische werkelijkheid. De filosofische vraag hoe dat mogelijk is, laten we hier nu rusten.
Kun je de stelling van Pythagoras bewijzen? Ja. Eigenlijk moet je zeggen: "Het vermoeden van Pythagoras (over de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek) is bewezen, en daardoor per definitie een stelling geworden."
Stellingen zijn bewezen beweringen. Vermoedens zijn onbewezen beweringen.
Samengevat: Hoewel we het wiskundig bewijs als de sterkste vorm van bewijs ervaren, valt er heel wat op af te dingen. De grond van het wiskundig bewijs is zelf geen (wiskundig) bewijs, maar een sterke, breed gedeelde intuïtie.
2. Bewijs in de natuurwetenschappen
De belangrijkste bewijsgrond in de natuurwetenschappen wordt geleverd door een empirie en experimentatie.
Hoe belangrijk zijn (keiharde) bewijzen in ons dagelijks leven?
We hebben hierboven laten zien dat een 'bewijs' niet een eenvormig ding is, dat in alle gevallen op dezelfde manier tot stand komt en altijd even veel gewicht (bewijskracht) heeft. Een bewijs is een abstract begrip. We duiden er een bepaalde stand van zaken mee aan of een redenering, die ons ertoe brengt om iets te geloven en/of te doen:
Als ik voldoende bewijs heb, dat het ijs na één nacht vriezen hard genoeg is, dan durf ik op het ijs te lopen.
Als jij me voorrekent dat het voordeliger is om een zonnepanelen om mijn dak te zetten, zal ik het doen.
Als jij me via een overtuigende redenering laat zien, dat er geen grootste priemgetal bestaat, dan geloof ik het ook.
Toch moeten we het belang van (keiharde) bewijzen ook weer niet overschatten. Bewijzen horen thuis in wetenschap, laboratorium en rechtzaal. Wie beweert dat het altijd en overal verkeerd, irrationeel of onverantwoord is om iets te geloven zonder bewijs, importeert procedures uit het laboratorium in het dagelijkse leven. Maar wat in het ene domein een waardevolle en nuttige procedure is, helpt ons op andere gebieden niet verder. We geloven namelijk buitengewoon veel dingen, zonder dat we er keihard bewijs van hebben en dat is helemaal niet verkeerd of irrationeel of onverantwoord. Integendeel, vaak is dat erg verstandig en meestal hebben we geen keus.
Ik geloof dat een bepaalde vrouw mijn moeder is. Hier heb ik geen DNA-onderzoek voor nodig.
Ik geloof dat ik bepaalde mensen kan vertrouwen, zonder keihard bewijs.