Primo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Nel disegno il quadrato Q è equivalente, ossia ha la stessa area, del rettangolo R

In formula si ha: AB2 = BC · BH

Dimostrazione

Prima dimostriamo che il triangolo ABC è uguale al triangolo EBT. Facendo riferimento alla figura, i due triangoli hanno AB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE (perché complementari dello stesso angolo ABT). Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli i due triangoli sono uguali.

Se ne deduce che BC=BT.

Il quadrato Q e il parallelogrammo P hanno la stessa base AB e la stessa altezza AD, che è la distanza tra le rette parallele AB e EL, quindi Q e P sono equivalenti.

Il parallelogrammo P e il triangolo R hanno le basi BT e BM uguali e l'altezza BH in comune, perché distanza tra le rette parallele TM e LK.

Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ha che Q è equivalente a P.

Primo teorema di Euclide

a cura: di Marcello Pedone (marcellopedone@tin.it)