Problema 4.20

Să se determine centrul de masă al vasului din fig.4.20.a. Să se determine centrul de masă al vasului plin, dacă se umple cu un lichid astfel încât raportul dintre greutatea lichidului şi a vasului gol este de 3.

Fig.4.20

Soluţie: Datorită simetriei centrul de masă se va găsi în planul Oyz. În cazul vasului gol, corpul 1 este o jumătate dintr-o calotă semisferică. Pentru acesta se cunoaşte poziţia centrului de masă zc=R/2 . Dacă se consideră că acesta provine din două jumătăţi care au centrul la înălţimea z1 (fig.4.20.b) rezultă că trebuie să avem relaţia:

Fig.4.20.b.

deci centrul de masă are aceeaşi cotă ca şi calota semisferică. După axa y valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii. Deci, pe figura 4.20, avem:

În ceea ce priveşte suprafaţa semicilindrică, este evident că centrul de masă va trebui să se găsească pe verticala care trece prin intersecţia diagonalelor secţiunii dreptunghiulare prin cilindru. Privită din faţă suprafaţa semicilindrică va arăta ca un arc de cerc, deci centrul de greutate se ga găsi la distanţa 2R/π de centrul cercului (fig.4.20.c).

Rezultă că vom avea următoarele relaţii:

Suprafaţa conică poate fi considerată ca fiind obţinută prin alăturarea unor arce de cerc cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare arc de cerc centrul de greutate se va găsi la distanţa de 2r/π de axa conului unde r este raza semicercului respectiv. Mulţimea tuturor aceste centre va fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 2R/π aflat la baza conului (fig.4.20.d). De asemenea conul poate fi considerat ca fiind obţinut prin alăturarea unor triunghiuri cu vârful în vârful conului şi baza pe baza conului. Aceste triunghiuri au centrul de greutate situat la o treime de bază şi două treimi de vârf. De aici rezultă că centrul de greutate al suprafeţei laterale a semiconului se va găsi într-un plan paralel cu baza, situat la o distanţă de o treime din înălţimea conului faţă de planul bazei. Intersecţia dintre acest plan şi dreapta centrelor de greutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentru această suprafaţă:

Se obţine:

Dacă tot corpul este plin, atunci corpul 1 este o jumătate dintr-o semisferă. Pentru acesta se cunoaşte poziţia centrului de masă zc=3R/8. Dacă se consideră că acesta provine din două sferturi de sferă care au centrul la înălţimea z1 (fig.4.20.b) rezultă că trebuie să avem relaţia:

După axa y valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii. Deci, pe figura 4.20.a, avem:

În ceea ce priveşte volumul semicilindric, la fel ca şi pentru suprafaţa semicilindrică, centrul de masă va trebui să se găsească pe verticala care trece prin intersecţia diagonalelor secţiunii dreptunghiulare prin cilindru. Privită din faţă suprafaţa semicilindrică va arăta ca un semicerc, deci centrul de greutate se va găsi la distanţa 4R/3π de centrul cercului (fig.4.20.f). Rezultă că vom avea următoarele relaţii:

Volumul jumătăţii de con poate fi considerat ca fiind obţinută prin alăturarea unor semicercuri cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare semicerc centrul de greutate se va găsi la distanţa de 4r/3π de axa conului unde r este raza semicercului respectiv. Mulţimea tuturor aceste centre va fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 4R/3π aflat la baza conului (fig.4.20.g). Jumătatea de con are centrul de greutate situat la o pătrime de bază şi trei pătrimi de vârf. De aici rezultă că centrul de greutate al suprafeţei laterale a semiconului se va găsi într-un plan paralel cu baza, situat la o distanţă de o pătrime din înălţimea conului faţă de planul bazei. Intersecţia dintre acest plan şi dreapta centrelor de greutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentru această suprafaţă: