Números
e
El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas.
Las primeras cifras son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler
e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10.
Calcularlo
El valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n:
El valor de e también es igual a to 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc)
(Nota: "!" significa factorial)
Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,718055556
Recordando
Para recordar el valor de e (hasta 10 cifras) apréndete esta frase (¡cuenta las letras!):
El
trabajo
y
esfuerzo
de
recordar
e
revuelve
mi
estómago
O puedes aprenderte la curiosa pauta de que después del "2,7" el número "1828" aparece DOS VECES:
2,7 1828 1828
Y después de eso vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles (dos iguales) que son 45°, 90°, 45°:
2,7 1828 1828 45 90 45
(¡una manera instantánea de parecer muy listo!)
Dónde
Muchas veces el número e aparece donde no se lo espera.
Por ejemplo, da el valor del interés compuesto continuo (que se usa en préstamos e inversiones):
Fórmula del interés compuesto continuo
Otra propiedad interesante
Corta y multiplica
Digamos que cortamos un número en partes iguales y las multiplicamos juntas.
¿Cuánto tiene que ser cada parte de grande, para que al multiplicarlas juntas salga el máximo número posible?
La respuesta: haz que las partes sean "e", ... bueno, lo más cerca posible de e.
Ejemplo: 10
10 dividido en 3 partes es 3,3...
10 dividido en 4 partes es 2,5
10 dividido en 5 partes es is 2
3,3...×3,3...×3,3... (3,3...)3 = 37,037...
2,5×2,5×2,5×2,5 = 2,54 = 39,0625
2×2×2×2×2 = 25 = 32
El ganador es el número más cercano a "e", en este caso 2,5.
Prueba con otro número, por ejemplo 50... ¿qué te sale?
Transcendental
e también es un número transcendental
Números Transcendentes
Número transcendente
Un número transcendente es un número que no es un número algebraico (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales).
Algunos ejemplos de números transcendentes son π y e
Números de Liouville
Ya en 1844, Joseph Liouville estudió este número:
= 0,11000100000000000000000100……
(cada cifra es 1 si está n! posiciones después del punto decimal, y 0 si no.)
Es un número muy interesante porque:
es irracional, y
además no es solución de ninguna ecuación polinomial así que no es algebraico.
De hecho, Joseph Liouville acababa de encontrar el primer número transcendente que se podía demostrar que lo era.
Ese número se conoce ahora como la constante de Liouville. Y es un número de Liouville.
Un número de Liouville es un tipo especial de número transcendente que se puede aproximar muy de cercacon números racionales.
Más formalmente es un número real x, con la propiedad de que, para cada entero positivo n, existen dos enteros p y q (con q>1) que cumplen:
Ahora sabemos que x es irracional, así que siempre habrá alguna diferencia entre x y todos los p/q: por eso la parte de "0<".
Pero la segunda desigualdad te dice lo pequeña que es la diferencia. De hecho la desigualdad dice que "el número puede ser aproximado infinitamente, pero nunca se puede llegar". De hecho Liouville consiguió demostrar que si un número tiene aproximaciones racionales que se le acercan rápidamente, el número es transcendente.
Otra propiedad interesante es que para cada entero positivo n, existe un número infinito de pares de enteros (p,q) que cumplen la desigualdad.
Más números transcendentes
Hubo que esperar hasta 1873 para el primero número "no construido" que fuera transcendente, cuando Charles Hermite demostró que e es transcendente.
Después en 1884, Ferdinand von Lindemann publicó una prueba de que π es transcendente.
De hecho, demostrar que un número es transcendente es bastante difícil, aunque se sepa que son muy comunes...
Los números transcendentes son comunes
Casi todos los números reales son transcendentes. El argumento para verlo es:
Los números algebraicos son "numerables" (por decirlo simplemente, la lista de números enteros es "numerable", y puedes ordenar los números algebraicos para que vayan de par en par con los números enteros, así que también son numerables.)
Pero los números reales no son "numerables".
Y como cada número real es algebraico o transcendente, los transcendentes deben ser "no numerables".
Así que hay muchos más transcendentes que algebraicos.
Funciones transcendentes
Así como un número transcendente "no es algebraico", una función transcendente también es "no algebraica". Más formalmnte, una función transcendente es una función que no se puede construir en un número finito de pasos a partir de las funciones elementales y sus inversas, por ejemplo la función seno Sin(x).
Números algebraicos
Número algebraico
Un número algebraico es: cualquier número que es solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales.
Por decirlo más fácilmente, si tienes un polinomio como (por ejemplo):
2x2-4x+2 = 0
Entonces x es algebraico.
Porque:
El polinomio no es cero
x es un a raíz o cero (o sea, x da el resultado cero en la función 2x2-4x+2)
los coeficientes son números racionales
El polinomio puede ser más simple o complicado que este ejemplo, claro, mientras los coeficientes sean racionales.
Si un número no es algebraico, se llama transcendente.
Ejemplo: ¿√2 (la raíz cuadrada de 2) es algebraico o transcendente?
√2 es una solución de x2 - 2 = 0, así que es algebraico
Propiedades
Todos los números algebraicos son computables y por tanto definibles.
El conjunto de números algebraicos es numerable.
El número imaginario i es algebraico (es solución de x2 + 1 = 0).
Todos los números racionales son algebraicos, pero un número irracional puede ser o no algebraico.
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3
√99
1,7320508075688772935274463415059 (etc)
9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Radicales
Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.
Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.
Pero √4 (la raíz cuadrada de 4) sí se puede simplificar (queda 2), así que no es un radical.
Fíjate en estos:
Como ves, los radicales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, y por eso son números irracionales.
De hecho "radical" se refiere en concreto a una raíz que es irracional.
Alrededor del año 820 AC, al-Khwarizmi (el matemático persa de cuyo nombre viene la palabra "Algoritmo") decía que los números irracionales eran "inaudibles" ... esto se tradujo al latín como surdus ("sordo" o "mudo")
Conclusión
Si es una raíz e irracional, es un radical.
Pero no todas las raíces son radicales.
Cuadrados y raíces cuadradas
Para entender las raíces cuadradas primero tienes que entender los cuadrados...
Cómo se calcula el cuadrado de un número
Para calcular el cuadrado de un número, sólo hay que multiplicarlo por sí mismo...
Ejemplo: ¿Cuál es el cuadrado de 3?
3 al cuadrado
=
=
3 × 3
=
9
Nota: escribimos "3 al cuadrado" como 32
(el "2" pequeño significa que el número aparece dos veces en la multiplicación)
Más cuadrados
Raíz cuadrada
La raíz cuadrada va en la dirección contraria:
3 al cuadrado es 9, así que la raíz cuadrada de 9 es 3
3
9
La raíz cuadrada de un número es...
... ese valor particular tal que cuando lo multiplicas por sí mismo te da el número original.
La raíz cuadrada de 9 es ...
... 3, porque cuando multiplicas 3 por sí mismo sale 9.
Nota: cuando veas "raíz" piensa
"conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?"
En este caso el árbol es "9", y la raíz es "3".
Aquí tienes más cuadrados y raíces cuadradas:
4
5
6
16
25
36
Ejemplo: ¿Cuál es la raíz cuadrada de 25?
Bueno, acabamos de ver que 25 = 5 × 5, así que si multiplicas 5 por sí mismo (5 × 5) sale 25.
Entonces la respuesta es 5
El símbolo de raíz cuadrada
Este es el símbolo que significa "raíz cuadrada", es como una marca de "correcto", de hecho hace cientos de años empezó siendo un punto con un palito hacia arriba.
Se le llama radical, ¡y siempre hace que las matemáticas parezcan importantes!
Se usa así: (se dice que "la raíz cuadrada de 9 es 3")
Abajo hay temas más avanzados
También puedes calcular el cuadrado de números negativos
Mira esto:
Así que la raíz cuadrada de 25 puede ser 5 o -5
¡Hay una respuesta positiva y otra negativa para una raíz cuadrada!
Pero cuando la gente habla de "la" raíz cuadrada normalmente se refieren a la positiva.
Y cuando usas el símbolo radical √ siempre quiere decir la raíz positiva.
Ejemplo: √36 = 6 (no -6)
Cuadrados perfectos
Los cuadrados perfectos son los cuadrados de los números enteros:
Es fácil calcular la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto, pero es muy difícil calcular otras raíces cuadradas.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de 10?
Bueno, 3 × 3 = 9 y 4 × 4 = 16, así que podemos adivinar que la respuesta está entre 3 y 4.
Probamos 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25
Probamos 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24
Probamos 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61
Así vamos muy despacio... en este punto, saco mi calculadora y veo que sale:
3.1622776601683793319988935444327
... pero las cifras siguen y siguen, sin patrón. ¡Así que incluso la respuesta de la calculadora es sólo una aproximación!
(Para saber más: este tipo de números se llaman radicales y son un tipo especial de números irracionales)
Un método especial para calcular una raíz cuadrada
Hay muchas maneras de calcular una raíz cuadrada, pero mi favorita es una muy sencilla que da una respuesta más exacta cuantas más veces se usa:
a) empieza adivinando (digamos 4 para la raíz cuadrada de 10)
b) divide entre tu aproximación (10/4 = 2.5)
c) suma eso a la aproximación (2.5+4=6.5)
d) y divide eso entre 2, o sea calcula la mitad. (6.5/2 = 3.25)
e) ahora, ese esa tu nueva aproximación, empieza otra vez en b)
... así que nuestro primer intento nos lleva de 4 a 3.25
Otra vez (de b a e) nos da: 3.163
Otra vez (de b a e) nos da: 3.1623
Así que después de hacerlo tres veces la respuesta es 3.1623, que está muy bien, porque:
3.1623 x 3.1623 = 10.00014
Es divertido hacer esto ... ¿por qué no lo usas para calcular la raíz cuadrada de 2?
Completar el cuadrado
"Completar el cuadrado" es cuando...
ax2 + bx + c = 0
a(x+d)2 + e = 0
Para los que tengáis prisa, os puedo decir ya que:
, y:
Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
La pista
Primero tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2
(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx + d2
El caso más simple
Vamos a trabajar primero con:
Suma (b/2)2 a los dos lados:
Ahora mira la "pista" de arriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2
Sí, está en la forma x2 + 2dx + d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir
Completamos el cuadrado:
¿Ves? No es difícil. Con truco pero no difícil.
El completo
Ahora vamos al caso completo:
Empieza con
Divide la ecuación entre a
Pon c/a en el otro lado
Suma (b/2a)2 a los dos lados
¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(si "b/2a" es "d", claro)
"Completamos el cuadrado"
Ahora lo traemos todo de vuelta...
... a la izquierda
... y con el coeficiente correcto de x2
Fíjate en que tenemos:
Donde:
a(x+d)2 + e = 0
, y:
Ejemplo
Vamos a probar con un ejemplo de verdad:
Empieza con
Divide la ecuación entre a
Pon c/a en el otro lado
Suma (b/2a)2 en los dos lados
3x2 - 4x - 5 = 0
... ahora la podemos transformar...
"Completamos el cuadrado"
Podemos simplificar las fracciones
Ahora lo traemos todo de vuelta...
... a la izquierda
... y con el mismo coeficiente de x2
Pero pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de la curva) está en(2/3, -19/3) ... ¡y esos números aparecen en la ecuación!
Otra cosa es que ahora podemos resolver la ecuación a mano:
¿Para qué "completar el cuadrado"?
¿Para qué querrías completar el cuadrado cuando basta usar la fórmula cuadrática para resolver una eciación cuadrática?
Bueno, la respuesta está arriba en parte, donde la forma nueva te da el vértice, y también hace la ecuación fácil de resolver.
Es el primer paso en la derivación de la fórmula cuadrática
A veces la forma "ax2 + bx + c" puede ser parte de un problema más grande y escribirla como "a(x+d)2+ e" hace más fácil llegar a la solución, porque la "x" sólo aparece una vez.
Por ejemplo es difícil integrar 1/(3x2 - 4x - 6) pero 1/(3(x - 4/6)2 - 22/3) es más fácil.
O "x" puede ser una función (como cos(z)) y de nuevo reescribir puede abrirte un camino mejor a la solución.
Es sólo otra herramienta en tu caja de herramientas matemáticas.
Ecuación cuadrática
Esto es una ecuación cuadrática:
(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)
La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee lasDefiniciones básicas de Álgebra)
Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
En esta a=2, b=5 y c=3
Aquí hay una un poco más complicada:
¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"
b=-3
¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
si es positivo, hay DOS soluciones
si es cero sólo hay UNA solución,
y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .
Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 and -1
(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una: