Ecuación Cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo orden en una única variable

(1)

con

. Debido a que es una ecuación polinómica de segundo orden , el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene dos soluciones. Estas soluciones pueden ser tanto real , o ambos complejo .

Entre sus muchos otros talentos , el mayor general Stanley en Gilbert y la opereta de Sullivan los Piratas de Penzance impresiona a los piratas con su conocimiento de las ecuaciones de segundo grado en la "Canción del General de División " de la siguiente manera : "Yo soy el verdadero modelo de un moderno Mayor General , he vegetal información , animal y mineral , sé que los reyes de Inglaterra, y cito las luchas históricas, desde Marathon a Waterloo, con el fin categórico , estoy muy bien familiarizado demasiado con cuestiones matemáticas , entiendo ecuaciones , tanto la simple y cuadrática , Acerca teorema del binomio que estoy lleno de una " noticia mucho o - con muchos hechos alegres sobre el cuadrado de la hipotenusa " .

Las raíces

se encuentran completando el cuadrado.

(2)

(3)

(4)

Despejando

entonces da

(5)

o de esta manera más fácil:

Partimos de

. Queda: Sumamos

a ambos lados: La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

a ambos lados obteniendo lo que queríamos: Esta ecuación se conoce como la fórmula cuadrática .

La primera solución conocida de una ecuación cuadrática es la que figura en el papiro de Berlín desde el Imperio Medio ( ca. 2160-1700 aC) en Egipto. Este problema se reduce a resolver

(6)

(7)

( Smith 1953 , p . 443 ) . Los griegos fueron capaces de resolver la ecuación de segundo grado por métodos geométricos, y de Euclides ( ca. 325-270 aC) de datos contiene tres problemas que involucran ecuaciones cuadráticas . En su Arithmetica trabajo, el matemático griego Diofanto ( ca. 210-290 ) resolvió la ecuación cuadrática , pero dando una sola raíz , incluso cuando ambas raíces fueron positivos (Smith 1951 , p . 134 ) .

Varios matemáticos indios dieron normas equivalentes a la fórmula cuadrática . Es posible que ciertas construcciones que datan de ca. 500 BC representan soluciones de la ecuación , pero aún debe ser éste el caso, no hay constancia del método de solución (Smith 1953 , p . 444 ) . El matemático hindú Aryabhata ( 475 o 476-550 ) dio una regla para la suma de una serie geométrica que muestra el conocimiento de las ecuaciones de segundo grado con dos soluciones (Smith 1951 , p 159 ; . . Smith 1953 , p 444 ), mientras que Brahmagupta ( . CA 628 ) parece haber considerado sólo uno de ellos ( Smith 1951 , p 159 ; . Smith 1953 , pp 444-445 ) . Del mismo modo, Mahāvīra ( ca. 850 ) tenían sustancialmente la regla moderna de la raíz positiva de una cuadrática. Sridhara ( ca. 1025 ) dio la raíz positiva de la fórmula cuadrática , según lo declarado por Bhāskara ( ca. 1150 ; Smith 1953 , pp 445-446 ) . Los matemáticos persas al- Khwarizmi ( ca. 825 ) y Omar Khayyam ( ca. 1100 ) también dieron normas para encontrar la raíz positiva .

Viète fue uno de los primeros en sustituir los métodos geométricos de solución con los análisis , a pesar de que aparentemente no captó la idea de una ecuación general cuadrática (Smith 1953 , pp 449-450 ) .

Una forma alternativa de la ecuación de segundo grado se da dividiendo ( ◇ ) a través de

:

(8)

(9)

(10)

Por lo tanto,

(11)

(12)

(13

y de manera más fácil:

Partimos de

.

Dividimos por

todos los términos y nos queda así:

ahora, pasamos

al otro lado con signo contrario y queda :

ahora, a los dos lados los multiplicamos por

y nos queda de esta forma:

y le sumamos a ambos lados

y nos queda de esta forma:

la parte izquierda de la igualdad es el desarrollo de un binomio así como tal lo escribimos:

ahora, hacemos raíz cuadrada a los dos lados de la igualdad,

y nos queda:

pasamos

al otro lado con signo contrario y nos queda así:

donde despejando

nos quedará la fórmula que buscamos

Esta forma es útil si

, donde denota mucho mayor , en cuyo caso la forma usual de la fórmula cuadrática puede dar resultados numéricos inexactos para una de las raíces . Esto se puede evitar mediante la definición

(14)

de manera que

y el término bajo el signo de la raíz cuadrada siempre tienen el mismo signo. Ahora, si ,entonces

(15)

(16)

(17)

así

(18)

(19)

Del mismo modo , si

, entonces

(20)

(21)

(22)

así

(23)

(24)

Por lo tanto , las raíces siempre están dadas por

y .

Consideremos ahora la ecuación que se expresa en la forma

(25)

con soluciones

y . Estas soluciones satisfacen las fórmulas de Vieta

(26)

(27)

Las propiedades de los polinomios simétricos aparecen en las fórmulas de Vieta a continuación, dan

(28)

(29)

(30)

Dado un número entero del polinomio cuadrático

, tenga en cuenta el número de tales polinomios que son factorizable sobre los números enteros de

y tomado de un conjunto de números enteros . Por ejemplo, para , hay cuatro dichos polinomios,

(31)

(32)

(33)

(34)

En la siguiente tabla se resumen los cargos de tales polinomios factorizables simples

y pequeña . Los gráficos de las fracciones de polinomios factorizables para

(rojo), (azul), and (verde) también se ilustran más arriba . Sorprendentemente , la secuencia de

tiene la ecuación de recurrencia

(35)

donde

es el número de divisores de y la función característica de los números cuadrados.

Sloane factorizable sobre para , 1, ...

A067274 1, 4, 10, 16, 25, 31, 41, 47, 57, ...

A091626 1, 2, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 22, ...

A091627 0, 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, ...