Los múltiplos de 37 son fascinantes.
Escribí sobre todo esto aquí: Multiplos de 37 en fotos donde se habla del grupo de Flickr que alguien creó al respecto, y que es a donde envío estas fotos).
Respecto a cómo encontrarlos:
Una curiosidad importante es que los números 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 son todos múltiplos de 37 (eso me lo comentó el amigo Eneko por correo un día, no lo conocía). Todos esos son obviamente fáciles de recordar.
Tanto 37 como 74 (37x2) también que son los únicos de dos dígitos (fáciles).
La regla importante es: si ves un número de tres dígitos, será múltiplo de 37 si se puede llegar a él restando o sumando 37 a uno de los conocidos (111, 222, 333, etc.) Esto es porque entre dos de esos números sólo hay dos múltiplos de 37 (es decir entre 555 y 666 sólo hay dos posibles: uno es 555+37 y el otro 666-37). Esa regla es fácil de recordar y la suma/resta fácil de hacer.
Por ejemplo, ves el 483, sumas mentalmente 37 y obtienes 520 (no es) y le restas 37 (446, más cerca de 444, pero tampoco es) así que 483 no es múltiplo de 37. En cambio si ves 740 sumándole 37 obtendrías 777 que sí que lo es, de modo que 740 también es múltiplo de 777.
Otra curiosidad realmente sorprendente es que si un número de tres dígitos es múltiplo de 37, también lo es rotando a izquierda o derecha sus dígitos. Es decir si ABC es múltiplo de 37 también lo son BCA y CAB. Por ejemplo 037, 370 y 703, ¡todos lo son! Esta propiedad sirve a veces para reconocer más rápidamente esos números o descartarlos en plan rápido. Yo por ejemplo si veo un número como 525 lo descarto directamente sin hacer la suma/resta +37 -37 porque rotándolo se ve que equivale a 552, que está demasiado cerca de 555 como para que haya 37 números de diferencia.
Rizando el rizo se obtiene una regla para los números de cuatro dígitos, que vale para todos los números de cuatro dígitos, del 1000 al 9999. Yo la descubrí del siguiente modo: resulta que 999 es múltiplo de 37 y 1036 (el siguiente) lógicamente también. 36 es casi 37, pero curiosamente si sumas el 1 de los miles al 036 obtienes 37 que también lo es. En el siguiente millar la diferencia es 2, pero el número empieza por dos, etc. Esto quiere decir que para números de cuatro dígitos la regla original se puede aplicar siempre que sumes antes el primer dígito de los cuatro números (el de la izquierda) a los otros tres. Por ejemplo: si ves5772 (la foto anterior) sumas 5 + 772 y te da 777, de modo que 5772 realmente es múltiplo de 37. (Efectivamente 5772 / 37 = 156). Yo me quedé en números de cuatro dígitos, y luego leí que…
Rizando el rizo al límite: resulta que en los comentarios del grupo de fotos explican que esta última idea de sumar los dígitos se puede generalizar para cualquier número, de cualquier longitud. Simplemente hay que sumarlos en bloques de tres en tres, de izquierda a derecha, hasta que quede un número de tres cifras.
Por ejemplo para 128.673 sumas 128+673 mentalmente y te da 801, que con la regla original descartas como malo. En cambio 213.564 sería 213 + 564 = 777 que es múltiplo de 37.
Otro ejemplo con números más largos: 542.236.443 -> 542 + 236 + 443 = 1.221 y repitiendo la operación con 1.221 te da 1 + 221 = 222, por tanto 542.236.443 es múltiplo de 37.
Nota: si en grupos de tres a la izquierda sólo quedan uno o dos dígitos, se rellenan con ceros (es decir, para 24.556 se sumarían 024+556).
Todo esto sobre el 37 es curioso y divertido (en el sentido friki matemático del asunto, claro.)
Supongo que dentro de unos días se me pasará la frikada pero es divertido ir por la calle paseando y al ver números calcular mentalmente si son múltiplos de 37 o no (y tirarles la foto si lo son.) A los pocos días lo haces realmente casi al instante, y nunca hubiera dicho que existiera una regla mnemotécnica para ver si un número es divisible por 37 exactamente