Simplex de Compensación
El procedimiento estándar asegura la compensación total para N frecuencias utilizando para ello N ramas (es decir, elimina una de las N+1 ramas contempladas inicialmente).
Podemos representar la compensación en un espacio N-dimensional (con direcciones ej correspondientes a las frecuencias wj). Llamaremos a este espacio N-dimensional "espacio de compensación", en el que situamos N+1 vectores uk (son los N vectores columna de la matriz Ujk a los que añadiremos el vector uN que tiene todas sus componentes iguales a 1)
Las direcciones representadas por estos vectores son:
dk = dk•uk siendo dk un parámetro que puede tomar cualquier valor real.
Esta ecuación define una recta que pasa por el origen, y representa la rama k en el espacio de compensación.
Si representamos la carga en ese espacio mediante los valores de las yj obtenidos a partir de las susceptancias obtenemos el vector de carga yc = yj ej
Simplex
La ecuación matricial de la compensación
Ujk xk= yj
permite segmentar el espacio N-dimensional de compensación en regiones denominadas simplex que están limitadas por N+1 caras de dimensión N-1 (o hiperplanos). Cada cara, a su vez, está limitada por N bordes de dimensión N-2, etc.
Alternativamente, podemos caracterizar un simplex mediante N+1 puntos en el espacio N-dimensional. Estos puntos son los vértices del simplex. Los segmentos que unen cada par de vértices son las aristas unidimensionales, y así sucesivamente.
-Ejemplos ilustrativos en dimensiones bajas:
Cuando N=1 un simplex será un segmento limitado por 2 puntos (que son hiperplanos de dimensiòn 0), cuando N=2 un simplex será un triángulo limitado por 3 lados (hiperplanos de dimensión 1), y cuando N=3, un simplex será un tetraedro limitado por 4 caras triangulares (hiperplanos de dimensión 3), etc.
-Aplicación a la compensación de corrientes no activas
En nuestro caso, los hiperplanos que conforman las caras de los simplex corresponden con la anulación de alguna rama.
Podemos considerar que en la ecuación de compensación, cada fila j de la matriz Ujk, produce un producto escalar:
uj • x = zj
Donde el vector uj tiene componentes (uj0, uj1, uj2, …, ujN)
En función de las frecuencias:
uj0= -1/wj2 , uj1= 1/{1- (wj2 / r12)}, uj2= 1/{1- (wj2 / r22)}, … , ujN=1
Es interesante destacar que, una vez definidas las frecuencias wj, las componentes uj0 y ujN son fijas. Por otra parte, las componentes ujk= 1/{1- (wj2 / rk2)} = rk2/(rk2- wj2) son positivas cuando j < k o j = k, y negativas cuando j > k.
En valores absolutos, los términos ( ukk, uk+1,k) son mayores que los restantes, que van siendo menores a medida que aumenta la separación entre j y k.
El vector x = (x0, x1, x2, …, xN) corresponde al compensador, siendo x0 = 1/L0, xk = Ck , xN = CN
Mientras que el escalar zj = yj - CN
Separando las componentes, el producto escalar de la compensación para la frecuencia j será
uj • x = uj0x0+ uj1x1+ uj2x2 +… + ujNxN = zj
Usando GA, la expresión vectorial anterior puede escribirse como
uj x = uj •x + uj ^x = zj + uj^x = zj + uj ^(x=+ xT) = zj + uj^xT= zj + uj xT
Donde hemos descompuesto el vector x en su proyección y su reyección respecto de uj : x = x=+ xT
Podemos multiplicar por la izquierda por uj-1= uj/u2
uj-1uj x = x = uj-1(zj + uj xT) = uj-1zj + xT = ujzj/u2 + xT
Esto quiere decir que podemos expresar el vector de compensación x para cada frecuencia j como la suma de un vector ujzj/u2 paralelo a uj (siendo el factor de proporcionalidad zj/u2, cuyo signo es igual al de zj) y un vector genérico xT perpendicular a uj (el conjunto de todos estos vectores forma un hiperplano perpendicular a uj)
La inversión de la matriz de compensación
(Ujk)-1 = Mkj
permite escribir la condición de compensación como
xk= Mkj (yj - CN )
En este caso, las ramas están representadas por vectores fila en lugar de columnas: mk
Imponiendo la condición de anulación de una rama (xk = 0) obtenemos la ecuación del hiperplano en forma de un producto escalar nulo: mk• (y - cNk uN) = 0
cNk es el valor de la capacidad CN para la cual se anularía la capacidad Ck y por lo tanto se podría prescindir de la rama k.
Simplex N2
SimplexRk_N2
Simplex N3
SimplexRk_N3
SimplexRk_N3_locusCalc
SimplexRk_N3_locus