PROCEDIMIENTO GEOMÉTRICO PARA ELIMINAR RAMAS ADICIONALES
El procedimiento estándar asegura la compensación total para N frecuencias utilizando para ello N ramas (es decir, elimina una de las N+1 ramas contempladas inicialmente).
Podemos representar la compensación en un espacio N-dimensional (con direcciones ej correspondientes a las frecuencias wj). Llamaremos a este espacio N-dimensional "espacio de compensación", en el que situamos N+1 vectores uk (son los N vectores columna de la matriz Ujk a los que añadiremos el vector uN que tiene todas sus componentes iguales a 1)
Las direcciones representadas por estos vectores son:
dk = dk•uk siendo dk un parámetro que puede tomar cualquier valor real.
Esta ecuación define una recta que pasa por el origen, y representa la rama k en el espacio de compensación.
Si representamos la carga en ese espacio mediante los valores de las yj obtenidos a partir de las susceptancias obtenemos el vector de carga yc = yj ej
Eliminar ramas adicionales.
Es posible intentar eliminar ramas adicionales jugando con los grados de libertad resultantes de la asignación previa de los valores de las frecuencias de resonancia rk (que son arbitrarias siempre que se encuentren entre pares de frecuencias consecutivas).
La expresión Ujk= 1/{1-(wj/rk)2} muestra la dependencia de cada componente de la matriz respecto del parámetro libre (aunque entre límites) rk . Esta dependencia no es lineal, por lo que no se podrán utilizar los métodos de cálculo lineal para despejarlo.
La estrategia a seguir consiste en modificar los valores de los parámetros Ujk (variando los rk en forma adecuada a cada caso) hasta conseguir que se cumplan las condiciones de anulación para varias ramas. Estas condiciones, básicamente, consisten en que alguno de los subespacios que forman parte del simplex se alinee con el vector de carga yc .
Hay que tener en cuenta que la dimensión de cada uno de los subespacios que conforman el simplex está en relación opuesta al número de ramas que se anulan en el mismo. Podemos decir que la suma de la dimensión del subespacio y el número de ramas anuladas es igual a la dimensión del espacio de compensación. Otra manera de verlo es considerar que en un subespacio de dimensión D nos quedan D+1 ramas en el compensador.
Así, en un vértice (dimensión 0) se anulan N ramas (queda solamente una), en una arista (dimensión 1) se anulan N-1 ramas (quedan 2). Por otro lado, en una cara (dimensión N-1) se anula una única rama, y en uno de sus bordes (dimensión N-2) se anulan 2 ramas y quedan N-1 ramas en él compensador.
Podemos usar dos estrategias:diferentes
-Partir de la cara del simplex
En este caso, una vez localizada una cara en la cual se anula una rama (que vamos a identificar con el subíndice k), se trataría de explorar sus bordes.
En este caso, debemos partir de los N vértices de la cara del simplex para ir construyendo aristas y espacios de dimensión cada vez mayor hasta dar con uno en el cual se cumplan las condiciones de anulación requeridas.
ANÁLISIS CON 2 FRECUENCIAS (N = 2)
El procedimiento estándar asegura la compensación total para 2 frecuencias utilizando para ello 2 ramas (es decir, elimina una de las 3 ramas contempladas inicialmente).
Podemos representar la compensación en un espacio bidimensional (un plano) con direcciones (e1 , e2 ) correspondientes a las frecuencias w1 y w2). Llamaremos a este espacio bidimensional "plano de compensación para 2 frecuencias", en el que situamos 3 vectores uk, que son los 2 vectores columna de la matriz Ujk (u0 y u1) a los que añadiremos el vector uN que tiene todas sus componentes iguales a 1, es decir: uN = (1,1).
El conjunto de estos 3 vectores será {uk} = {u0, u1 ,uN}
Las direcciones representadas por estos vectores son:
dk = dk•uk siendo dk un parámetro que puede tomar cualquier valor real.
Esta ecuación define una recta que pasa por el origen, y representa la rama k en el espacio de compensación.
Si representamos la carga en ese espacio mediante los valores de las yj obtenidos a partir de las susceptancias obtenemos el vector de carga yc = yCj ej = (yC1, yC2)
La ecuación matricial de la compensación
Ujk xk= yj
permite segmentar el espacio bidimensional de compensación en regiones denominadas "simplex" (en este caso son triángulos) que están limitadas por N+1 caras de dimensión 1, que serán los 3 lados de cada triángulo, que tendrá también 3 vértices.
En nuestro caso, los segmentos que conforman las caras de los simplex (es decir, los lados del triángulo) corresponden con la anulación de alguna rama.
Podemos considerar que en la ecuación de compensación, cada fila j de la matriz Ujk, produce un producto escalar:
uj • x = zj
Donde el vector uj tiene componentes (uj0, uj1, ujN)
En función de las frecuencias:
u10= -1/w12 , u11= 1/{1- (w12 / r12)}, u1N=1
u20= -1/w22 , u21= 1/{1- (w22 / r12)}, u2N=1
En valores absolutos, los términos ( u11, u21) son mayores que los restantes, que van siendo menores a medida que aumenta la separación entre j y k.
El vector x = (x0, x1, xN) corresponde al compensador, siendo
x0 = 1/L0, x1 = C1 , xN = CN
Mientras que los escalares zj son
z1 = y1 - CN
z2 = y2 - CN
Separando las componentes, el producto escalar de la compensación para la frecuencia j será
uj • x = uj0x0+ uj1x1+ ujNxN = zj
La inversión de la matriz de compensación
(Ujk)-1 = Mkj
permite escribir la condición de compensación como
xk= Mkj (yj - CN )
En este caso, las ramas están representadas por vectores fila en lugar de columna: mk
Haciendo dU = Det (Ujk) = u10u21 - u11u20
Los componentes de la matriz inversa serán
dU•m01 = u21, dU•m12 = u10, dU•m02 = - u11, dU•m11 = - u20
Los vectores fila serán
m0 = (m01, m02) = (1/dU)(u21, - u11) = (1/dU) [1/{1- (w22 / r12)}, - 1/{1- (w12 / r12)}]
m1 = (m11, m12) = (1/dU)(-u20, u10) = (1/dU) [1/w22, -1/w12]
Este segundo vector no depende del único parámetro libre (r1)
Imponiendo la condición de anulación de una rama (xk = 0) obtenemos la ecuación del hiperplano en forma de un producto escalar nulo: mk• (y - cNk uN) = 0
Como solamente m 0 depende de un parámetro libre, usaremos únicamente una de estas ecuaciones:
m0• (y - cN0 uN) = 0; m0•y = cN0 m0•uN
En este caso, cN0 es el valor de la capacidad CN para la cual se anularía la capacidad C0 y por lo tanto se podría prescindir de la bobina L0 .
Si conseguimos identificar un valor de r1 para el cual el vector de carga yC cumpla la expresión anterior, habremos encontrado la forma de quedarnos solamente con la rama 1 para compensar.
Sustituyendo valores:
m0•yC = (1/dU) [1/{1- (w22 / r12)}, - 1/{1- (w12 / r12)}] • (yC1, yC1) =
= (1/dU)[yC1/{1- (w22 / r12) - yC2/{1- (w12 / r12)]
Eliminar ramas adicionales con 2 frecuencias
Si de entrada hubiéramos eliminado la rama 1, no habría nada más que hacer, pues las ramas 0 y N están geométricamente fijas (no dependen de ninguna frecuencia de resonancia).
Por lo tanto, este procedimiento solamente tiene sentido si en el proceso previo fueron anuladas las ramas 0 o N, pues nos quedaría la rama 1 por explorar. Dado que sería muy raro poder anular también esta rama (nos quedaríamos sólo con un componente, L o C), el objetivo será intentar que nos quede solamente la rama 1,
Es posible intentar eliminar una rama adicional jugando con la asignación previa de un valor para la única frecuencia de resonancia r1, que debe encontrarse entre w1 y w2 : w1 < r1 < w2
La matriz Ujk tendrá dos componentes dependientes de r1:
U11= 1/{1-(w1/r1)2}
U21= 1/{1-(w2/r1)2}
Esta relación de dependencia no es lineal. Sin embrago, como veremos, cuando solamente contemplamos 2 frecuencias es posible establecer un valor para determinar la variable r1 a partir de ciertas condiciones.
La estrategia a seguir consiste en modificar los valores de los parámetros Uj1 (variando r1 en forma adecuada) hasta conseguir que se cumplan las condiciones de anulación para una o varias ramas. Estas condiciones, básicamente, consisten en que alguno de los vértices (o una arista) del tetraedro se alinee con el vector de carga yc .
Hay que tener en cuenta que la dimensión de cada uno de los subespacios que conforman el simplex está en relación opuesta al número de ramas que se anulan en el mismo. Podemos decir que la suma de la dimensión del subespacio y el número de ramas anuladas es igual a la dimensión del espacio de compensación (N=3). Otra manera de verlo es considerar que en un subespacio de dimensión D nos quedan D+1 ramas en el compensador.
Así, en un vértice (dimensión 0) se anulan 3 ramas (queda solamente una), en una arista (dimensión 1) se anulan 2 ramas (quedan 2), mientras que en una cara triangular (dimensión 2) se anula 1 rama (quedan 3).
Podemos usar dos estrategias:diferentes. En 2 dimensiones estas son muy semejantes, aunque es interesante analizarlas por separado para entender sus características.
ANÁLISIS CON 3 FRECUENCIAS (N = 3)
El procedimiento estándar asegura la compensación total para 3 frecuencias utilizando para ello 3 ramas (es decir, elimina una de las 4 ramas contempladas inicialmente).
Podemos representar la compensación en un espacio tridimensional con direcciones (e1, e2, e3) correspondientes a las frecuencias w1, w2 y w3). Llamaremos a este espacio tridimensional "espacio de compensación para 3 frecuencias", en el que situamos 4 vectores uk, que son los 3 vectores columna de la matriz Ujk (u0, u1 y u2) a los que añadiremos el vector uN que tiene todas sus componentes iguales a 1, es decir: uN = (1,1,1).
El conjunto de estos 4 vectores será {uk} = {u0, u1, u2, uN}
Las direcciones representadas por estos vectores son:
dk = dk•uk siendo dk un parámetro que puede tomar cualquier valor real.
Esta ecuación define una recta que pasa por el origen, y representa la rama k en el espacio de compensación.
Si representamos la carga en ese espacio mediante los valores de las yj obtenidos a partir de las susceptancias obtenemos el vector de carga yc = yCj ej = (yC1, yC2, yC3)
La ecuación matricial de la compensación
Ujk xk= yj
permite segmentar el espacio tridimensional de compensación en regiones denominadas "simplex" (en este caso son tetraedros) que están limitadas por N+1 = 4 caras de dimensión 2 (triángulos), que serán las 4 caras de cada tetraedro, el cual tendrá también 4 vértices.
En nuestro caso, los triángulos que conforman las caras del tetraedro corresponden con la anulación de alguna rama.
Podemos considerar que en la ecuación de compensación, cada fila j de la matriz Ujk, produce un producto escalar:
uj • x = zj
Donde el vector uj tiene componentes (uj0, uj1, uj2, ujN)
En función de las frecuencias:
u10= -1/w12 , u11= 1/{1- (w12 / r12)}, u12= 1/{1- (w12 / r22)}, u1N=1
u20= -1/w22 , u21= 1/{1- (w22 / r12)}, u22= 1/{1- (w22 / r22)}, u2N=1
u30= -1/w32 , u31= 1/{1- (w32 / r12)}, u32= 1/{1- (w32 / r22)}, u3N=1
En valores absolutos, los términos para ( u11, u21) y ( u22, u32) son mayores que los restantes, que van siendo menores a medida que aumenta la separación entre j y k.
El vector x = (x0, x1, x1, xN) corresponde al compensador, siendo
x0 = 1/L0, x1 = C1 , x2= C2 , xN = CN
Mientras que los escalares zj son
z1 = y1 - CN
z2 = y2 - CN
z3 = y3 - CN
Separando las componentes, el producto escalar de la compensación para la frecuencia j será
uj • x = uj0x0+ uj1x1+ uj1x1 + ujNxN = zj
La inversión de la matriz de compensación
(Ujk)-1 = Mkj
permite escribir la condición de compensación como
xk= Mkj (yj - CN )
En este caso, las ramas están representadas por vectores fila en lugar de columnas: mk
Imponiendo la condición de anulación de una rama (xk = 0) obtenemos la ecuación del hiperplano en forma de un producto escalar nulo: mk• (y - cNk uN) = 0
Tenemos dos de estas ecuaciones:
m0• (y - cN0 uN) = 0
m1• (y - cN1 uN) = 0
En cada caso, cNk es el valor de la capacidad CN para la cual se anularía la capacidad Ck y por lo tanto se podría prescindir de la rama k.
Eliminar ramas adicionales con 3 frecuencias
Es posible intentar eliminar ramas adicionales jugando con los 2 grados de libertad resultantes de la asignación previa de un valor para cada frecuencia de resonancia rk . En este caso, habrá dos frecuencias de resonancia rk (r1 ,r2) y cada una debe encontrarse entre wk y wk+1 : wk< rk < wk+1
La expresión Ujk= 1/{1-(wj/rk)2} muestra la dependencia de cada componente de la matriz respecto del parámetro libre (aunque entre los límites indicados) rk . Esta dependencia no es lineal, por lo que no se podrán utilizar los métodos de cálculo lineal para obtener el valor de estos parámetros a partir de las componentes de la matriz.
Aunque en el caso N=2 hemos podido encontrar una expresión algebraica para determinar de forma exacta el único parámetro existente, para 3 dimensiones esto ya no es tan simple, y la dificultad aumenta de forma exponencial con el número de frecuencias implicadas.
Sin embargo, es posible acudir a métodos aproximados, pues estamos tratando de abaratar el funcionamiento de un sistema que, de entrada, nos garantiza la compensación total, y puede ser interesante conseguir reducir el número de ramas a costa de cierto grado de inexactitud.
En este sentido, podemos aprovechar una de las características de la matriz de compensación mencionadas anteriormente: el hecho de que, en valor absoluto, los términos mayores son de la forma uk,k o uk+1,k. En otras palabras (si prescindimos de las columnas 0 y N), estas serían los términos diagonales (que son todos positivos) o los situados inmediatamente por debajo de estos (que son todos negativos).
En una primera aproximación podemos anular todos los términos menos estos e intentar resolver las ecuaciones resultantes. De hecho, para 2d es lo que hemos hecho (en aquel caso, de forma exacta).
La estrategia a seguir consiste en modificar los valores de los parámetros Ujk (variando r1 en forma adecuada) hasta conseguir que se cumplan las condiciones de anulación para varias ramas. Estas condiciones, básicamente, consisten en que alguno de los vértices del triángulo se alinee con el vector de carga yc .
Hay que tener en cuenta que la dimensión de cada uno de los subespacios que conforman el simplex está en relación opuesta al número de ramas que se anulan en el mismo. Podemos decir que la suma de la dimensión del subespacio y el número de ramas anuladas es igual a la dimensión del espacio de compensación (N=2). Otra manera de verlo es considerar que en un subespacio de dimensión D nos quedan D+1 ramas en el compensador.
Así, en un vértice (dimensión 0) se anulan 2 ramas (queda solamente una), en una arista (dimensión 1) se anula 1 rama (quedan 2).
Podemos usar dos estrategias:diferentes
-Partir de la cara del simplex con 3 frecuencias
En este caso, una vez localizada una cara triangular del tetraedro en la cual se anula una rama (que vamos a identificar con el subíndice k), se trataría de explorar sus bordes (los 3 lados del triángulo).
-Partir de los vértices con 3 frecuencias
En este caso, debemos partir de los 2 vértices de la cara del simplex (el lado del triángulo donde se anula una rama) para ver si en alguno de ellos se consiguen anular 2 ramas.