Direcciones de las Rk y trayectorias de las resonancias
La matriz de compensación U puede ser descompuesta en N vectores columna, cada uno para una rama k.
En caso de que todas las capacidades menos una fueran nulas, al multiplicar este vector por el valor de Ck se obtiene un vector, si variamos el valor de Ck todos estos vectores son colineales (describen una dirección en el espacio de compensación).
Si hay un número M de Cs que no son nulas, en general, el conjunto describe un subespacio lineal de dimensión M en el espacio de compensación.
Al variar algún valor de Rk, el correspondiente vector columna Uk también cambia, y si dirección se desplaza por el espacio de compensación.
Es interesante poder relacionar las posibles direcciones que pueden tomar estas Uk con las zonas de compensación del simplex (vértices, aristas, etc), pues es en esos puntos donde se puede realizar la compensación usando un número menor de ramas.
Análisis diferencial
A partir de la expresión matricial
Ujk Ck = yj - CN
podemos realizar el siguiente cálculo diferencial:
Los términos de la columna k de la matriz Ujk dependen del valor de rk de acuerdo con la expresión
Ujk= rk2/(rk2- wj2), cuya diferencial (teniendo en cuenta que la frecuencia wj no varía) será:
dUjk = -2rk wj2drk/(rk2- wj2)2
Imponiendo la condición de ligadura d(yj - CN) = 0 (para no alterar la compensación en el factor de potencia alcanzada previamente usando N ramas) podemos escribir:
d(UjkCk) = dUjkCk + UjkdCk= 0
Con lo cual UjkdCk= - dUjkCk , y
dCk= -Ujk-1 dUjkCk
dCk= - Mkj dUjkCk
donde Mkj dUjk se puede considerar como el producto de dos matrices, Mkj = Ujk-1 que es una matriz N×N, y dUjk que es una matriz N×(N-1) puesto que la rama k=0 no contiene una frecuencia de resonancia variable (se trata de una única bobina, cuya frecuencia de resonancia se podría considerar idénticamente nula). El producto será por lo tanto una matriz N×(N-1), que nos devuelve la variación diferencial de cada capacidad, dCk a partir de la variación en cada frecuencia de resonancia.
A partir de las expresiones diferenciales anteriores es posible aproximar la matriz inversa de forma lineal. Esto permite analizar la posibilidad de mejorar la compensación (eliminando alguna rama adicional) en las cercanías de las frecuencias de resonancia utilizadas en primera instancia.
Locus Cj(Rm)
La herramienta "locus" de geogebra devuelve el recorrido de un punto sometido a un parámetro variable.
En estos casos, el parámetro variable será alguna de las frecuencias de resonancia Rm, y el punto será alguna de las capacidades Cj.
Cuando m = j, la curva resultante representa la variación de Cj con respecto a su frecuencia propia Rj, y se puede comprobar que el punto Cj, al desplazar Rj, se mueve siempre sobre dicha curva.
Algo más complicado de visualizar son los casos en los que m es diferente de j. En estos casos, el punto Cj se desplazaría en vertical, por lo que el locus no sería de gran utilidad. Para evitar esto, se establece un parámetro ficticio Rj' en lugar de Rj, por lo que al variar Rm el punto Cj ya no se mueve en vertical sino sobre Rj', por lo que es posible analizar su comportamiento. Sin embargo, ahora, al desplazar Rm, el punto Cj se sale fuera del locus, lo que dificulta algo la interpretación. Al trabajar con una distribución de frecuencias impares regularmente distanciadas, el desplazamiento horizontal de estos puntos Rj' es igual que el desplazamiento de Rm.
Las siguientes apps utilizan la herramienta locus cuando es posible (es decir, hasta N = 3), y en varios casos se superpone la pendiente calculada mediante el procedimiento diferencial explicado. La intención es doble:
Por un lado, comprobar si las rectas calculadas diferencialmente son tangentes al locus (lo que sí se observa), y por otro comprobar el intervalo de validez de la aproximación diferencial. En este caso, se observó que cuando m = k el locus presenta una forma de campana que se aparta bastante de la recta tangente, mientras que en los restantes casos la aproximación lineal parece bastante aceptable.
Las apps se agrupan de acuerdo al número de frecuencias:
Locus Cj(Rm) _N2_CnVar
LocusPendte Cj(Rm)_N2
Como la anterior, pero representa además las pendientes calculadas para Cj(Rm).
Locus Cj(Rm)_N3_2r
Esta app no permite variar las frecuencias (1, 3, 5) ni las resonancias (2, 4).
Sirve solamente para verificar el grado de aproximación de estas curvas con el locus real al variar los puntos de carga (azules) y el valor de CN (punto verde).
Locus Cj(Rm)_N3_3r
Permite seleccionar 3 frecuencias (ptos azules w1, w2, w3) y sus valores de carga (puntos azules y1, y2 , y3 en la vertical de estos), así como las frecuencias de resonancia intermedias (ptos rojos r0, r1, r2).
Lo interesante es analizar la posibilidad de anular alguna Cj de forma adicional mediante un desplazamiento de una de las resonancias Rk .
LocusPendte Cj(Rm)_N3
Igual que la anterior, pero mostrando también las pendientes para comprobar la tangencia con el locus
Pendte Cj(Rm)_N7
Muestra 7 frecuencias fijas (armónicos impares de 1 a 13) y las resonancias intermedias (números pares, también fijos). Se pueden variar los valores de las Ck del compensador, y la app calcula los puntos de compensación Yj. Se muestran las líneas tangentes para cada condensador, en función de cada resonancia (estas vienen indicadas mediante colores). En principio, los puntos de corte con el eje x señalarían posibilidades de anular los Cj mediante desplazamiento de una Rk.
Hay que tener en cuenta, como hemos indicado más arriba, que cuando m = k el comportamiento real se aparta bastante de la línea tangente, por lo que cabría contemplar usar una aproximación de grado superior para no distorsionar los resultados.