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Procedimiento diferencial para compensación variando las resonancias

En el proceso lineal de compensación se mantienen unos valores fijos de las resonancias (medias aritméticas entre frecuencias contiguas) y se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales, añadiendo un cálculo de programación lineal para asegurar la ausencia de soluciones negativas. En este proceso se consigue, además, eliminar una rama adicional, es decir, se asegura la compensación de N frecuencias mediante N ramas.

Es posible jugar con la variabilidad de las frecuencias de resonancia para intentar eliminar ramas adicionales. En este caso, las ecuaciones no son lineales, por lo que se debe acudir al cálculo diferencial.

Para una carga sometida a una tensión con N frecuencias, en este caso, partimos de un compensador con N ramas LC en paralelo.

Para nombrar las frecuencias usaremos el subíndice j (que varía de 1 a N), mientras que para las ramas (y las frecuencias de resonancia) usaremos el subíndice k (que varía de 0 a N-1).

Descripción del procedimiento paso a paso:

Pasos previos:

Establecer el vector de “capacidades equivalentes”, Y. Este vector tiene N componentes Yj, una para cada frecuencia j. El valor de cada componente tiene unidades de capacidad, y se define como Yj = -Bj/wj

En la expresión anterior, Bj es la susceptancia de la carga para la frecuencia j (es decir, la parte imaginaria de la reactancia), mientras que wj = 2πfj es la pulsación correspondiente a la frecuencia fj (que llamaremos también “frecuencia” pues en este caso se diferencian únicamente por un factor constante e igual a 2π).

Establecemos un “espacio de compensación” con N dimensiones, en el que cada dirección tiene unidades de capacidad. S puede definir una base {el} que, en general, no será ortogonal.

Usando el convenio de Einstein para sumar índices repetidos podemos expresar el vector de capacidades equivalentes como Y = Yj ej.

Determinar los valores iniciales de las frecuencias de resonancia, rk0. Cualquier medida de centralización entre pares de frecuencias contiguas será válido. Por razón de simplicidad, podemos usar la media aritmética: rk0 = (wk + wk+1 )/2

Paso 1: Determinar los parámetros de susceptancia Ujk para cada rama k y frecuencia j:

Ujk = rk0 2/( rk02- wj 2)

El conjunto ordenado de estos parámetros forma una matriz cuadrada U (de dimensión NxN)

Esta matriz se puede aplicar sobre cualquier vector de capacidades de rama Ck, para obtener un vector de capacidades de frecuencia (equivalentes): Yj = Ujk Ck

Paso 2: Invertir la matriz de susceptancias U para obtener la matriz de compensación M

M = U-1

Paso 3: Compensación inicial

La expresión matricial invertida Mkj Yj = Ck

nos permite obtener una solución de compensación inicial en forma del vector C0k. Este vector inicial, en principio, puede tener valores negativos. En lo que sigue, no nos preocuparemos por esto, y más adelante analizaremos cómo se pueden evitar posibles valores negativos de algunas de las capacidades.

Paso 4: Derivación de cada vector columna de U.

Para valores fijos de las frecuencias wj (como es el caso), cada columna k de la matriz Ujk depende solamente del valor de la frecuencia de resonancia rk según la expresión del paso 1.

Podemos expresar la dependencia funcional de los vectores columna de U como Uk(rk)

Y sus derivadas como dUk/drk

Donde cada componente viene dada por: dUjk/drk = -2 rk wj2 /(rk2-wj2)2

Paso 5: Incremento diferencial del vector C

La expresión matricial Yj = Ujk(rk)·Ck(r0, …, rN)

Se puede derivar parcialmente

∂Yj/∂rq = Ck · ∂Ujk/∂rq + Ujk · ∂Ck/∂rq

Cada derivada parcial ∂Yj/∂rq Ck será idénticamente nula, puesto que Yj es constante. Es decir: 0 = Ck · ∂Ujk/∂rq + Ujk · ∂Ck/∂rq

Teniendo en cuenta que en la matriz Ujk solamente la columna Uq depende de rq

∂Ujk/∂rq = δkq · dUjk/drq

Donde δkq = 1 cuando k=q y se anula en el resto de columnas

Es decir, Ck · ∂Ujk/∂rq = Cq · dUjq/∂rq = - Ujk · ∂Ck/∂rq

Aplicando la matriz inversa, Mkj = Ujk-1

Obtenemos Mkj · dUjq/∂rq Cq = - ∂Ck/∂rq

que se desarrolla como

∂Ck/∂rq = - Ck Σl(mkl · dUlq/∂rq)

Los términos ∂Ck/∂rq forman la matriz Jacobiana JC(r) para la función vectorial C(r)

La diferencial total del vector C en función de las variables r se puede expresar como

dC = JC(r) dr

Paso 6: Normalización

Los parámetros rk tienen un intervalo de variabilidad definido por la diferencia entre frecuencias contiguas. Si no tratamos con armónicos regularmente espaciados, estos intervalos serán diferentes, lo que afecta a la consideración de dr como un vector con el mismo “peso” entre sus componentes (unas podrán variar más que otras). Podemos normalizar la situación mediante el siguiente parámetro alternativo:

sk = (rk-rko)/lk  , haciendo  lk = (wk+1-wk)/2

Si tenemos en cuenta que rk puede variar desde wk hasta wk+1, vemos que la variación de sk se produce entre -1 y 1. De esta forma, evitamos que la variabilidad en los intervalos de frecuencia afecte a la medida de la distancia.

Los vectores dr y ds estarán relacionados por dr = L ds, donde L es una matriz diagonal.

Para establecer una métrica en el espacio-C, podemos partir de la transformación

dC = JC(r) dr = JC(r) L ds = E· ds

E = JC(r) L

Pao 7: Transformación inversa

Llamaremos F a la matriz inversa de E: F = E-1

En ese caso, ds = F·dc nos permite obtener la variación diferencial en el vector s que nos produce una determinada variación (también diferencial) en el vector C.

Paso 8: Métrica

Nuestra intención es localizar el eje de coordenadas más cercano al vector C, para intentar llegar al mismo mediante cambios en los valores de las rk. De ser esto posible, habríamos conseguido compensar la carga mediante una única rama, la que corresponde al eje seleccionado.

La cercanía se define mediante la noción de distancia (métrica), pero, en principio, el espacio-C no es ortonormal (en ese caso tendría una métrica euclídea). Necesitamos encontrar una transformación a un espacio que pueda ser considerado ortonormal, y para ello asumiremos que el espacio-S definido en el paso 6 está dotado de una métrica euclídea sin mayor discusión (este sería un aspecto a investigar).

A partir de ahí, para establecer la métrica en el espacio-C aplicamos la transformación siguiente:

ds2 = dst · ds = dct Ft F ds = dct G ds

Donde Ft F = G es la matriz métrica para el espacio-C. Se trata de una matriz simétrica, es decir, gkl = glk

Una vez establecida la matriz métrica G, el producto escalar entre dos vectores, a·b, se calcula de la siguiente manera:

a·b = atGb

Paso 9: Proyección

Usando nociones de Álgebra Geométrica (GA) definimos la proyección de un vector C sobre un subespacio caracterizado por una hoja (“blade”) B como

CpB = B-1 (B·C)

En este caso, estamos interesados en proyectar el vector de compensación C sobre uno de los ejes de coordenadas (pues en los ejes es donde se anulan todas las ramas menos una).

Para un determinado eje q (cuya dirección viene dada por el vector eq):

B = eq , B-1 = eq/gqq

La proyección del vector C sobre este eje vendrá dada por:

Cpq = Σl(gql·cl)/gqq

Paso 10: Reyección

La reyección de un vector C sobre un subespacio B se calcula en GA como

CrB = B-1 (B۸C)= C- CrB

Aplicado a la proyección vista en el paso anterior:

Crq = C- Cpq = C - Σl(gql·cl)/gqq

Paso 11: Medición de la distancia a cada rama

Para elegir la rama más favorable, debemos tener una medida de la distancia entre el vector C y cada uno de los ejes. Esto equivale al módulo del vector reyección.

Este se calcula en el espacio-C mediante la matriz métrica G:

Crk2 = CrktGCrk

Una vez calculado este valor para todas las ramas, se selecciona aquella que tenga una distancia menor.

Esto se puede realizar también en el espacio-S, en el cual se puede visualizar directamente cada vector para decidir qué dirección seguir (esto se hace en la app, pero en un proceso automatizado no sería necesario)

Transformación de un vector del espacio-C al espacio-S: s = E-1 c

Paso 12: Compensación con una rama: avance hasta un eje

Nuestro objetivo es desplazar el vector C hasta hacerlo coincidir con uno de los ejes, y si nuestra elección de la métrica es la correcta, esto se hace de la forma más eficaz siguiendo la dirección contraria al vector reyección. La expresión C-Cre=Cpe indica que, sumando al vector C un vector opuesto a la reyección nos lleva hasta la proyección, es decir, hasta el eje deseado.

Si consideramos una aproximación lineal, el vector que “avanzaría” C hasta cada uno de los ejes sería igual a: Caq = - Crq

En realidad, este avance no se podrá realizar en un único paso, sino de forma gradual, definiendo un “parámetro de avance” α y aplicándolo a la dirección elegida. De esta forma, la nueva situación vendrá dada por el vector C = Co + α·Cak

Este vector se toma como la nueva situación inicial, en la que los nuevos valores de las frecuencias de resonancia vendrán dadas por el vector ro + α rao

Donde rao = Jc-1 Cao

El proceso se repite hasta conseguir llegar hasta el eje deseado (en este caso se anula la reyección de C, lo que sirve para identificarlo algebraicamente). De no ser posible porque hayamos alcanzado el límite de variabilidad de las frecuencias de resonancia, tendremos que elegir otro eje al cual aproximarnos desde el principio. De no ser esto tampoco posible, habría que pasar a considerar una aproximación a subespacios de dimensiones superiores, en los cuales se precisarían más ramas en el compensador (por ejemplo, una cara precisa dos ramas, un subespacio tridimensional tres caras, etc).