En un espacio N-dimensional, llamamos simplex a una figura geométrica limitada por N+1 hiperplanos que se cortan. Las regiones de corte tienen una dimensión menor (N-1) y se denominan bordes. Estos se van cortando a su vez en regiones de dimensiones cada vez menores.
Una visión alternativa consiste en considerar un simplex como un conjunto de N+1 puntos en el espacio N-dimensional, denominados vértices. Estos vértices se unen entre sí mediante segmentos (espacios de dimensión 1) llamados aristas, y así sucesivamente.
Al estar basado en una serie de ecuaciones lineales, la región del espacio de compensación en la cual se puede conseguir una compensación aceptable tiene la forma de un simplex, y es posible representarlo en dimensiones bajas mediante apps de geogebra para analizar sus propiedades de cara a mejorar la compensación.
Dado que las soluciones de compensación aceptables implican que todas las capacidades sean positivas (o nulas), en el espacio de compensación (cuyos ejes son los valores de las capacidades) podemos identificar una región en la que esto sucede.
En el caso de dos dimensiones, este espacio será el primer cuadrante del plano cartesiano, y si son tres las capacidades, se trata de la región (⅛ del total) con todos los valores positivos.
Siempre será posible cortar está región mediante un hiperplanos ortogonal a la dirección (1, 1, …, 1) y tendremos un simplex de N-1 dimensiones.
En el caso de que N = 2, el simplex es un segmento, y si N = 3 se trata de un triángulo equilátero. En todos los casos, los vértices corresponden con los ejes de coordenadas, en los que se anulan todas las componentes menos una, que es positiva.
El procedimiento estándar asegura la compensación total para N frecuencias utilizando para ello N ramas (es decir, elimina una de las N+1 ramas contempladas inicialmente).
Podemos representar la compensación en un espacio N-dimensional (con direcciones ej correspondientes a las frecuencias wj). Llamaremos a este espacio N-dimensional "espacio de compensación", en el que situamos N+1 vectores uk (son los N vectores columna de la matriz Ujk a los que añadiremos el vector uN que tiene todas sus componentes iguales a 1)
Las direcciones representadas por estos vectores son:
dk = dk•uk siendo dk un parámetro que puede tomar cualquier valor real.
Esta ecuación define una recta que pasa por el origen, y representa la rama k en el espacio de compensación.
Si representamos la carga en ese espacio mediante los valores de las yj obtenidos a partir de las susceptancias obtenemos el vector de carga yc = yj ej
La ecuación matricial de la compensación
Ujk xk= yj
permite segmentar el espacio N-dimensional de compensación en regiones denominadas simplex que están limitadas por N+1 caras de dimensión N-1 (o hiperplanos). Cada cara, a su vez, está limitada por N bordes de dimensión N-2, etc.
Alternativamente, podemos caracterizar un simplex mediante N+1 puntos en el espacio N-dimensional. Estos puntos son los vértices del simplex. Los segmentos que unen cada par de vértices son las aristas unidimensionales, y así sucesivamente.
-Ejemplos ilustrativos en dimensiones bajas:
Cuando N=1 un simplex será un segmento limitado por 2 puntos (que son hiperplanos de dimensiòn 0), cuando N=2 un simplex será un triángulo limitado por 3 lados (hiperplanos de dimensión 1), y cuando N=3, un simplex será un tetraedro limitado por 4 caras triangulares (hiperplanos de dimensión 3), etc.