DESPLAZARSE SOBRE LA CARA DEL SIMPLEX
En este caso, una vez localizada una cara en la cual se anula una rama (que vamos a identificar con el subíndice k), se trataría de explorar sus bordes.
Estos resultan de la intersección de dos caras, es decir, deben cumplirse simultáneamente sus respectivas condiciones de anulaciòn.
mk• y = 0
mq• y = 0
Mediante el procedimiento estándar hemos localizado previamente la cara k del simplex en la que se cumple la condición de anulación para la rama k. Tendremos que explorar la posibilidad de que, manteniendo esta condición, se pueda anular alguna rama adicional (de subíndice q). En forma geométrica, esto equivale a desplazarse por la cara k del simplex que hemos identificado previamente hasta llegar (si es posible) hasta uno de los bordes de dicha cara, que comparte con la cara q.
Es necesario identificar algún criterio que nos permita seleccionar el lado q hacia el cual convenga desplazarse, así como un procedimiento tanto para efectuar este desplazamiento como para frenarlo en el momento de llegar al vértice.
Si el vector de la carga yc cumple ambas condiciones podremos anular tanto la rama k como la rama q. Esto, en principio, no sucederá, pero podemos jugar con la variabilidad de los parámetros de los vectores mk y mq para conseguirlo.
Cada uno de estos vectores depende de todas las frecuencias rk , por lo que estas condiciones constituyen un par de ligaduras entre ellas, que al no ser lineales no se podrán resolver mediante cálculo lineal y habrá que recurrir a otros métodos.
En caso de haber muchas frecuencias, una vez encontrado un borde en el cual se anulan dos ramas podemos proseguir analizando la posibilidad de anular más ramas.
Esta posibilidad de ir encontrando soluciones de forma gradual y acumulativa (a partir de una cara encontrada previamente mediante el procedimiento lineal estándar) es una ventaja de esta opción, mientras que la necesidad de contemplar todas las frecuencias de resonancia en el cálculo es una desventaja. Otra desventaja es tener que usar como vectores las filas de la matriz inversa Mkj, que en principio es menos intuitiva que la matriz de compensación Ujk.
ANÁLISIS CON 2 FRECUENCIAS (N = 2)
El procedimiento estándar asegura la compensación total para 2 frecuencias utilizando para ello 2 ramas (es decir, elimina una de las 3 ramas contempladas inicialmente).
Eliminar ramas adicionales con 2 frecuencias
Si de entrada hubiéramos eliminado la rama 1, no habría nada más que hacer, pues las ramas 0 y N están geométricamente fijas (no dependen de ninguna frecuencia de resonancia).
Por lo tanto, este procedimiento solamente tiene sentido si en el proceso previo fueron anuladas las ramas 0 o N, pues nos quedaría la rama 1 por explorar. Dado que sería muy raro poder anular también esta rama (nos quedaríamos sólo con un componente, L o C), el objetivo será intentar que nos quede solamente la rama 1,
Es posible intentar eliminar una rama adicional jugando con la asignación previa de un valor para la única frecuencia de resonancia r1, que debe encontrarse entre w1 y w2 : w1 < r1 < w2
-Partir de la cara del simplex con 2 frecuencias
Una vez localizada una cara (un lado del triángulo) en la cual se anula una rama, que ya hemos visto tendría que ser una de las ramas aisladas L o C (es decir, k = 0 o N) para que el cálculo tenga sentido en este caso bidimensional, se trataría de explorar sus bordes. Aunque un lado tiene 2 puntos extremos, en este caso solamente nos interesa la posibilidad de eliminar la otra rama aislada para quedarnos solamente con la rama LC (k = 1).
Los bordes resultan de la intersección de dos lados, es decir, deben cumplirse simultáneamente sus respectivas condiciones de anulación. En este caso, por lo dicho antes, serán:
m0• y = 0
mN• y = 0
Si el vector de la carga yc cumple ambas condiciones podremos anular tanto la rama 0 como la rama N. Esto, en principio, no sucederá, pero podemos jugar con la variabilidad de los vectores m0 y mN para conseguirlo.
Cada uno de estos vectores depende de la frecuencia r1 , por lo que estas condiciones constituyen un conjunto de ligaduras que, al no ser lineales, no se podrán resolver mediante cálculo lineal y habrá que recurrir a otros métodos.
La inversión de la matriz de compensación
(Ujk)-1 = Mkj
permite escribir la condición de compensación como
xk= Mkj (yj - CN )
En este caso, las ramas están representadas por vectores fila en lugar de columna: mk
Haciendo dU = Det (Ujk) = u10u21 - u11u20
Los componentes de la matriz inversa serán
dU•m01 = u21, dU•m12 = u10, dU•m02 = - u11, dU•m11 = - u20
Los vectores fila serán
m0 = (m01, m02) = (1/dU)(u21, - u11) = (1/dU) [1/{1- (w22 / r12)}, - 1/{1- (w12 / r12)}]
m1 = (m11, m12) = (1/dU)(-u20, u10) = (1/dU) [1/w22, -1/w12]
Este segundo vector no depende del único parámetro libre (r1)
Imponiendo la condición de anulación de una rama (xk = 0) obtenemos la ecuación del hiperplano en forma de un producto escalar nulo: mk• (y - cNk uN) = 0
Como solamente m 0 depende de un parámetro libre, usaremos únicamente una de estas ecuaciones:
m0• (y - cN0 uN) = 0; m0•y = cN0 m0•uN
En este caso, cN0 es el valor de la capacidad CN para la cual se anularía la capacidad C0 y por lo tanto se podría prescindir de la bobina L0 .
Si conseguimos identificar un valor de r1 para el cual el vector de carga yC cumpla la expresión anterior, habremos encontrado la forma de quedarnos solamente con la rama 1 para compensar.
Sustituyendo valores:
m0•yC = (1/dU) [1/{1- (w22 / r12)}, - 1/{1- (w12 / r12)} • (yC1, yC1) =
= (1/dU)[yC1/{1- (w22 / r12)} - yC2/{1- (w12 / r12)} = 0
Es decir,
yC1/{1- (w22 / r12)} = yC2/{1- (w12 / r12)}
yC1/yC2 = {1- (w22 / r12)} / {1- (w12 / r12)} = (r12 - w22) / (r12 - w12)
de donde podemos despejar el valor de r1
r12 = (yC2w22 - yC1w12) / (yC2 - yC1)
A continuación, sustituimos este valor para r1 en lugar de la media aritmética entre w1 y w2 y repetimos el procedimiento estandarizado, en el que ahora se anularán las componentes 0 y N.
Para que este valor de r1 sea aceptable debe ser real y estar entre w1 y w2
Esto se cumple si los signos de yC2 y de yC1 son opuestos.
Como la compensación se haría con una única rama LC, tienen que ser, además, yC1 positivo e yC1 negativo para que esta solución de una rama sea factible.
En caso contrario, habría que intentar anular la rama 1, es decir, compensar con una L0 y una CN en paralelo entre sí y con la carga.
Cuando N=2, este procedimiento solamente tiene sentido si en el proceso previo fueron anuladas las ramas 0 o N, pues nos quedaría la rama 1 por explorar. Si hubiéramos eliminado la rama 1, no habría nada más que hacer, pues las ramas 0 y N están geométricamente fijas (no dependen de ninguna frecuencia de resonancia).
ANÁLISIS CON 3 FRECUENCIAS (N = 3)
El procedimiento estándar asegura la compensación total para 3 frecuencias utilizando para ello 3 ramas (es decir, elimina una de las 4 ramas contempladas inicialmente).
Eliminar ramas adicionales con 3 frecuencias
La estrategia a seguir consiste en modificar los valores de los parámetros Ujk (variando r1 en forma adecuada) hasta conseguir que se cumplan las condiciones de anulación para varias ramas. Estas condiciones, básicamente, consisten en que alguno de los vértices del triángulo se alinee con el vector de carga yc .
Hay que tener en cuenta que la dimensión de cada uno de los subespacios que conforman el simplex está en relación opuesta al número de ramas que se anulan en el mismo. Podemos decir que la suma de la dimensión del subespacio y el número de ramas anuladas es igual a la dimensión del espacio de compensación (N=2). Otra manera de verlo es considerar que en un subespacio de dimensión D nos quedan D+1 ramas en el compensador.
Así, en un vértice (dimensión 0) se anulan 2 ramas (queda solamente una), en una arista (dimensión 1) se anula 1 rama (quedan 2).
-Partir de la cara del simplex con 3 frecuencias
En este caso, una vez localizada una cara triangular del tetraedro en la cual se anula una rama (que vamos a identificar con el subíndice k), se trataría de explorar sus bordes (los 3 lados del triángulo).
Estos resultan de la intersección de dos caras, es decir, deben cumplirse simultáneamente sus respectivas condiciones de anulaciòn.
mk• y = 0
mq• y = 0
Mediante el procedimiento estándar hemos localizado previamente la cara k del tetraedro en la que se cumple la condición de anulación para la rama k. Tendremos que explorar la posibilidad de que, manteniendo esta condición, se pueda anular alguna rama adicional (la rama q). En forma geométrica, esto equivale a desplazarse por la cara (triangular) k del tetraedro hasta llegar (si es posible) hasta el lado que limita dicha cara con la cara q.
Es necesario identificar algún criterio que nos permita seleccionar la cara q hacia la cual convenga desplazarse, así como un procedimiento tanto para efectuar este desplazamiento como para frenarlo en el momento de llegar al borde.
Si el vector de la carga yc cumple ambas condiciones podremos anular tanto la rama k como la rama q. Esto, en principio, no sucederá, pero podemos jugar con la variabilidad de los vectores mk y mq para conseguirlo.
Cada uno de estos vectores depende de la frecuencia r1 , por lo que estas condiciones constituyen un par de ligaduras que, al no ser lineales, no se podrán resolver mediante cálculo lineal y habrá que recurrir a otros métodos.
Las siguientes apps presentan de forma visual esta idea.
En todas ellas seleccionamos las frecuencias (puntos azules sobre el eje x) y las capacidades de un compensador "virtual" (puntos verdes unidos por segmentos verdes). La app produce las cargas correspondientes (puntos azules unidos por líneas azules). La idea es poder seleccionar situaciones en las que tengamos garantizada la compensación mediante un cierto número de componentes.
La app también puede presentar la situación de compensación básica (programación lineal para eliminar una rama), mediante una polilínea negra (activar la casilla compBas para verla). En el lado derecho tenemos un tetraedro regular (estamos en el espacio de compensación directo), en el cual hay un punto negro sobre una cara. Este punto corresponde con laq solución de compensación básica. Se presenta también un punto verde que muestra la compensación "virtual" inicial (que, en general, si no hay ninguna C verde nula, estará en el interior del tetraedro).
Un segmento verde señala el camino recorrido mediante la programación lineal (desde el interior del tetraedro hasta una de sus caras).
Con color rojo se identifica la solución final de compensación conseguida al variar las Rk, tanto como una polilínea (lado izquierdo) como mediante un punto rojo unido mediante un segmento rojo al punto negro de la compensación básica. Este segmento rojo nos indica la ruta seguida hasta alcanzar la compensación deseada. El objetivo es que esta ruta alcance una arista del tetraedro (eliminación de una rama adicional) o incluso un vértice (eliminación de dos ramas adicionales).
Ruta manual por una cara: https://www.geogebra.org/classic/j5eftyca
En esta app y en la siguiente, la selección de los valores de R1 y R2 se realiza mediante un único cursor, un punto rojo situado dentro de un cuadrado amarillo.
Los valores de las Rk se muestran gráficamente como un par de puntos rojos bajo el eje x, desplazados mediante segmentos rojos respecto de los valores centrales (puntos negros) correspondientes a la solución Rm.
Traza: https://www.geogebra.org/classic/gdvbfjke
Esta app es idéntica a la anterior, la única diferencia es que ahora el punto rojo sobre el tetraedro deja un rastro. Puedes variar el selector del cuadro amarillo en círculos gradualmente crecientes alrededor del punto negro central, y comprobar cómo se distribuyen los puntos rojos sobre las caras del tetraedro. Esto nos da una idea de las posibilidades de eliminar ramas adicionales (es decir, cuando la nube de puntos toca una arista o un vértice).
Locus: https://www.geogebra.org/classic/cjvndq7n
En esta app se realiza la sele3cción de los valores de R1 y R2 de forma separada, mediante un par de cursores abajo a la izquierda. De esta forma, es posible activar la herramienta "locus" de geogebra, que nos devuelve un par de líneas curvas sobre las caras del tetraedro. Estas líneas representan los puntos que se alcanzan al variar por separado cada una de las Rk (violeta para R12, rosa para R2).
Cuando una de estas líneas toca una arista, quiere decir que es posible compensar una rama adicional variando solamente la Rk correspondiente.