En la siguiente app se presenta de forma visual el concepto de cercanía a los vértices desde un cierto punto en el espacio de compensación (directo, en este caso, pues la forma del simplex es regular y no varía), usando las diferenciales de los vectores columna como vectores que definen un subespacio "tangente" al punto de compensación.
En este caso, no realizamos previamente la programación lineal para eliminar una rama, sino que dejamos el parámetro Cn libre, buscando un criterio de optimización que nos permita definir una posición desde la cual se pueda alcanzar el mayor número de vértices posible simplemente desplazando los valores de las Rk en la direcciones adecuadas.
Podemos seleccionar los valores de las frecuencias y de las capacidades de carga (puntos azules en la figura izquierda). La app devuelve las capacidades de compensación (puntos unidos por líneas negras). Desplazando el punto verde (Cn) movemos este conjunto hacia arriba o hacia abajo. La solución de programación lineal sería la que tiene un punto negro sobre el eje x y los restantes por encima de este.
La figura derecha muestra el espacio de compensación directo (los ejes cartesianos son los valores de las capacidades del compensador, Go, C1, C2), en el que se sitúa el punto de compensación Rm (correspondiente a valores de Rk situados en el centro de los intervalos de frecuencia). Puedes comprobar que Rm se desplaza por una línea recta (de color negro) al variar el valor de Cn.
Partiendo de Rm se muestra un cuadrilátero delimitado por un par de puntos que marcan el límite de la variación del punto de compensación en función de cara valor de Rk (rojo para R1, rosa para R2). Este paralelogramo (de color rojo) está contenido en un plano, cuyo corte con los planos de coordenadas viene indicado mediante líneas azules. Estas líneas indican (en una aproximación lineal) los puntos en los cuales se podría compensar prescindie3ndo de una rama. La intersección de dos de estas líneas azules marca un punto en el cual se podría compensar eliminando dos ramas.
En el interior de este paralelogramo hay un punto azul desplazable dR que nos permite variar ambos valores de Rk a la vez. El objetivo es intentar acercar este punto a una línea azul (y, si fuera posible, al punto de unión de ambas). Podemos desplazar el cursor verde Cn hasta que el punto de unión de las dos líneas azules esté situado en el paralelogramo rojo. En ese caso, desplazando el punto dR hasta allí podemos verificar si se realiza la compensación eliminando dos ramas (es decir, la polilínea roja de loa izquierda estaría descansando sobre dos patas sobre el eje x, aunque igual hay que mover un poco el p unto dR para conseguirlo, pues se trata de una apro0ximación diferencial lineal).
Partir de los vértices con 3 frecuencias
En este caso, se trata del espacio de compensación inverso. Es decir, el simplex varía de forma al cambiar la situación de compensación.
La estrategia a seguir consiste en modificar los valores de los parámetros Ujk (variando r1 en forma adecuada) hasta conseguir que se cumplan las condiciones de anulación para varias ramas. Estas condiciones, básicamente, consisten en que alguno de los vértices del triángulo se alinee con el vector de carga yc .
Hay que tener en cuenta que la dimensión de cada uno de los subespacios que conforman el simplex está en relación opuesta al número de ramas que se anulan en el mismo. Podemos decir que la suma de la dimensión del subespacio y el número de ramas anuladas es igual a la dimensión del espacio de compensación (N=2). Otra manera de verlo es considerar que en un subespacio de dimensión D nos quedan D+1 ramas en el compensador.
Así, en un vértice (dimensión 0) se anulan 2 ramas (queda solamente una), en una arista (dimensión 1) se anula 1 rama (quedan 2).
En este caso, debemos partir de los 2 vértices de la cara del simplex (el lado del triángulo donde se anula una rama) para ver si en alguno de ellos se consiguen anular 2 ramas.
Como hemos visto, para N = 2 el único vértice móvil es el de la rama k = 1.
Esto implica que el vector del compensador
x = (x0, x1, x2) solamente tendrä una componente no nula, es decir, x = (0, x1, 0)
La expresión matricial Ujk xk= yj , en este caso, se convierte en
Uj1 x1 = yj
que se resuelve en dos igualdades en las que la variable x1 funciona como un factor de multiplicación común:
U11 x1 = y1
U21 x1 = y2
Podemos englobar esta serie de productos en forma de una relación vectorial: u1 x1 = y
en la que u1 es el vector columna k = 1 de la matriz Ujk e y será cualquier vector proporcional al mismo (siendo xk el factor de proporcionalidad). En otras palabras, estaremos definiendo una dirección en el plano de compensación. En caso de que el vector de carga cumpliera esta relación, es decir,
u1 x1 = yC
tendríamos el problema resuelto y sería posible compensar totalmente usando solamente una rama.
Aunque no fuera así, cabría la posibilidad de modificar el vector u1 variando la frecuencia de resonancia r1, con lo que las posibles posiciones del vector u1(r1) describirán una curva en el plano de compensación.
Supongamos que en el proceso estándar se pudo anular la rama del condensador (rama N = 2)
Esto sucede en algún punto del lado que une los vértices 0 y 1.
Tendremos que explorar la posibilidad de que, moviendo alguno de estos vértices (en realidad, solo podemos mover el vértice 1 pues depende de r1, mientras que el vértice 0 es fijo) consigamos hacer que coincida con la dirección del vector de la carga yC.
La condición para ello es que
U11/ U21 = yC1 / yC2
es decir, (r12- w22) / (r12- w12) = yC1 / yC2
donde podemos despejar el valor de r1
r12 = (yC2w22 - yC1w12) / (yC2 - yC1)
Para que este valor de r1 sea aceptable debe ser real y estar entre w1 y w2
Esto se cumple si los signos de yC2 y de yC1 son opuestos.
Compens 1rama_N3parcial
El espacio de compensación es tridimensional, y presenta una zona en forma de lúnula en la que es posible compensar con una rama. No està claro.
Para entender mejor esta figura, puede ser interesante revisar el simplex para N = 3 visto anteriormente.