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El procedimiento diferencial básico no siempre nos va a dar el resultado deseado (compensación mediante una única rama y con una capacidad positiva).
Cuando no se consigue compensar mediante una rama, se puede ir aumentando el número de ramas hasta conseguir una solución satisfactoria.
Si en algún momento la solución encontrada implica alguna capacidad negativa, entonces habrá que acudir a un procedimiento alternativo (en realidad, es complementario del anterior): partir de la solución encontrada mediante programación lineal (que evita capacidades negativas pero precisa de N ramas), e ir disminuyendo el número de ramas de forma paulatina, asegurando en cada paso la ausencia de capacidades negativas.
Aumentar el número de ramas
En principio, se sigue el procedimiento básico hasta llegar al Paso 9 (proyección)
Ahora, aprovechando las proyecciones sobre los ejes calculadas previamente,
Cpq = Σl(gql·cl)/gqq
Podemos obtener la proyección sobre un hiperplano definido por un conjunto de ejes
Q = {ea, eb, …} = {eq}
como
CpQ = ΣqCpq
Esto se debe a que la suma de dos vectores está en el plano que los une, y así sucesivamente.
A continuación, el paso 10 (reyección) se realiza de la misma manera, es decir:
CrQ = C - CpQ
A partir de ahí, se sigue el procedimiento básico con estos nuevos valores.
Hay que tener en cuenta todas las posibles combinaciones de los ejes, para seleccionar aquella con una distancia menor.
En este enlace
https://www.geogebra.org/classic/da5ypjhv
se accede a una app en la cual se visualiza el procedimiento de eliminación de una rama en un sistema tridimensional (proyección de C sobre una cara del simplex o un plano de coordenadas)
Esta app, en realidad, ya la hemos analizado en otra página, pero en esta ocasión se presenta con el botón "caras" activado en lugar del "verts". De esta forma, pasamos a una configuración en la cual el objetivo es conseguir compensar eliminando una rama en lugar de dos (lo cual es un objetivo menos ambicioso pero tal vez más posible, sobre todo si no se ha conseguido reolver el caso "verts").
Tal y como se explica en el texto, para determinar la reyección de C sobre cada plano, primero se suman las proyecciones sobre los ejes que contiene, y el resultado se resta de C.
Asegurar capacidades positivas
Una vez resuelto el procedimiento de compensación mediante programación lineal (que, recordemos, implica usar una capacidad Co en paralelo con el conjunto de compensación, la cual se varía hasta conseguir que todas las capacidades sean negativas), se aplica el procedimiento diferencial básico, con un par de salvedades:
En el paso 9 (proyección) se contemplan como conjuntos Q todos los posibles hiperplanos de N-1 dimensiones (es decir, la proyección será la suma de todas las proyecciones individuales menos una o, alternativamente, el vector C menos una de las proyecciones.
En el paso 12, tras aplicar un avance diferencial, se aplica de nuevo el procedimiento de programación lineal. En este caso, contamos con la ventaja de saber cuál es la rama que se debe anular, porque es la misma que se anuló inicialmente.
De esta forma, nos aseguramos que, tras cada avance diferencia, volvemos a la cara del simplex en la que estábamos, hasta llegar a uno de sus bordes.
En ese momento, podremos compensar mediante una rama menos.
Si todavía nos queda libertad en las resonancias, podemos proseguir eliminando una rama adicional, y así sucesivamente hasta agotar la variabilidad de las resonancias.
La figura ilustra el proceso de asegurar capacidades positivas. Partiendo de una situación inicial(punto verde) situada fuera de la superficie del simplex, mediante el procedimiento de programación lineal (segmento verde) se lleva la solución hasta una cara del tetraedro. A partir de ahí, variando las resonancias por separado (curvasa azul y rosa), se puede llegar hasta una arista (que sería el borde de una cara, en el cual se anula una rama adicional). No se muestra (porque la herramienta Locus de geogebra lo resuelve automáticamente) el proceso para asegurar que el punto negro no se sale de la cara hasta llegar a la arista. Eso implicaría pequeños segmentos vferdes a lo largo del trayecto que devolverían en cada paso el puo a la superficie del tetraedro.
En ete enlace
https://www.geogebra.org/classic/yra68kmx
se accede a una app que intenta visualizar el proceso de "recalibrado mediante Cn" para conseguir avanzar sin salir del plano de compensación alcanzado previamente. Se trata de un sistema con dos frecuencias, al que se ha añadido una frecuencia ficticia que produce una desviación en el vector de compensación, llevándolo a salir del plano base. Para recalibrar el vector, disponemos de una capacidad adicional (Cn).
Esta situación intenta emular lo que sucedería si tuviéramos un sistema con tres frecuencias, en el que hemos conseguido, por el procedimkiento de programación lineal, compensar con dos ramas y una capacidad Cn. El objetivo es eliminar una rama adicional sin salirnos del plano base (es decir, manteniendo la rama eliminada en el proceso previo.
La app presenta dos casillas de activación. Una de ellas, selY, es la que permite seleccionar el par de valores para Y. La otra casilla, plC, es nueva. Permite asignar condiciones aleatorias a un plano en el que se mueve el vector de compensación C al variar las resonancias. En una situación real, la variación de C no es plana, pero aquí estamos suponiendo un comportamiento ideal para ilustrar cómo se realiza el proceso de avance gradual.
A medida que vamos desplazando elpunto de resonancia (R), se observa que el vector de compensación se separa del plano base (aparece un triángulo marrón para resaltar esta desviación). Si variamkos la capacidad Cn (punto verde sobre el eje vertical). podemos devolver el vector C al plano base, y de esta forma seguir avanzando. sI conseguimos llevar C hasta la línea roja o la línea azul sin desviarse del plano base, habremos eliminado una rama adicional en el compensador.
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