Geogebra no ofrece la posibilidad de calcular la matriz inversa de una dada, por lo que es necesario programarlo paso a paso, lo que es un proceso engorroso para dimensiones mayores que tres. Lo que sigue aquí son intentos de encontrar una manera de aproximar la matriz inversa de una matriz de compensación "regular" (con armónicos impares y resonancias pares) que pueda ser usado con la finalidad de estimar hacia dónde habría que mover las resonancias para conseguir eliminar ramas adicionales, algo que, posteriormente, tendría que ser realizado con la matriz exacta.
VectorCol_Uk_N6
Está app se limita a analizar cómo varían las componentes de una columna de la matriz U en función de la frecuencia de resonancia. Se presta especial atención al par de elementos “pivotales” entre los cuales se invierte el signo (líneas rojas). Se intenta aproximar estás curvas mediante un par de hipérbolas.
La ecuación a aproximar es y =x2/(x2-w2),, y la hipérbola, en general, tendrá la forma (y-1)(x-w)=a
y=x2/[(x-w)(x+w)] → x-w= x2/[y(x+w)] → a= x2[(y-1)/y]/[(x-w)(x+w)]
Derivadas: y’ = 2xw2/(x2-w2)2 , (1-y)/(x-w)= -a/(x-w)2
Igualándolas: a= -2xw2/(x+w)2
Suponiendo que x sea cercano a w: a= -w/2
Es decir, (y-1)(x-w)=-w/2. → y = 1-w/[2(x-w)]
Habría que comprobar el grado de ajuste con los valores reales (por si sirve para reducir la disparidad detectada en la siguiente app). Por otra parte, no parece avanzar mucho en la mejora de la compensación, pues seguimos con el problema de invertir esa matriz aproximada.
MatrizInvAprox_N6_YsRecalcs
Partimos de una situación de carga con 6 frecuencias (puntos azules variables). Las frecuencias están fijas (son armónicos impares). La app aplica una matriz inversa aproximada para calcular las capacidades del compensador (puntos negros). Usando estás capacidades, se recalcula la situación de carga (que serán los puntos rojos donde la curva del compensador, amarilla, corta cada frecuencia). Comparando la figura roja con la azul inicial tenemos una medida del error realizado con la aproximación a la matriz inversa.
Al mover el punto Cn (color verde) podemos intentar buscar el mejor ajuste entre las gráficas azul (real) y roja (aproximada). Se observa que este ajuste es más pobre en las zonas centrales, posiblemente debido a que la aproximación lineal no es satisfactoria en esas regiones de frecuencia (curvas rojas de la app anterior. Tal vez probando a construir una nueva matriz inversa aproximada en la que se tenga en cuenta la aproximación hiperbólica ...
Método aproximado.
Intentaremos una solución aproximada haciendo uso de la propiedad de la matriz de compensación (prescindiendo de las columnas 0 y N que son fijas) por la cual los términos de la diagonal (uk,k, todos positivos) y los inmediatamente inferiores (uk+1,k, todos negativos) son mayores (en valor absoluto) que los restantes.
La aproximación consiste en anular los restantes términos.
Matriz inversa Aproximada
Se representan las componentes de la matriz en el eje x sobre una base en el plano xy conformada por los índices de filas y columnas.
Hay dos series de apps: