Problemas de movimiento vibratorio armónico simple

1.              La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo   T = 2 s y una amplitud A = 2 cm.

a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación.

b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre?

2.   El cuerpo de la figura tiene masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte de constante recuperadora K= 20 N/m. Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la derecha y se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a dicha posición.

a)               Calcula el periodo de la oscilación.

b)        Calcula las energías cinética y potencial de M en los extremos de su oscilación y cuando pasa por el centro de la misma.

c)        Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de M? ¿Por qué?

Solución

a)        La partícula oscilará a partir de la posición inicial, con x=5 cm, en un movimiento armónico simple de ecuación:

3.     El bloque de la figura, de masa M=0,500 kg y en reposo, está apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora k=8,0 N/m. Se hace actuar sobre M una fuerza F creciente en el sentido indicado manteniendo el bloque en equilibrio. La fuerza F actúa hasta que F= 2 N. En ese momento se suelta el bloque.

a)            ¿Con qué amplitud oscilará M? ¿Con qué frecuencia angular w?

b)       Determina y representa gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de M en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t=0, en el instante de soltar el bloque.

Solución

a)         Cuando al bloque se le aplica una fuerza de 2 N en sentido positivo, el muelle ejerce una fuerza –8x en sentido negativo, suponiendo un eje de coordenadas cuyo origen esté en el extremo del muelle sin deformar. En equilibrio se cumple: (-8x)+2=0 , de donde x=2/8=0,25 (m). Esta es la distancia que recorrerá el cuerpo desde el punto en donde no tiene velocidad hasta el punto de equilibrio bajo la acción del muelle, luego esa distancia, 0,25 (m) , es la amplitud.

4.      Un cilindro hueco de plástico tiene una masa m2=30 g. La superficie de la base del cilindro es S=50·10-4 m2. La gravedad es g=9,8 m/s2. Se cuelga del centro de la base del   cilindro una esfera de acero de masa m1=70 g y se pone sobre una cubeta con agua. La densidad del agua es d=1,0·103 kg/m3. A partir de la posición de equilibrio, se desplaza la esfera una distancia x hacia abajo.

a)   ¿Cuál es la expresión de la fuerza neta que actúa sobre el conjunto cilindro y esfera en función de x y qué sentido tendrá?

b)   ¿Qué tipo de movimiento tendrá el cilindro y la esfera cuando se  desplaza la esfera una distancia de 1,0 cm hacia abajo y se deje libre el sistema? Calcula el periodo de la oscilación del sistema.

Solución

   a)   En equilibrio, las fuerzas que actúan sobre el sistema cilindro y esfera son: el peso de la esfera y el peso del cilindro, el empuje del agua sobre el cilindro sumergido y el del agua sobre la esfera de acero. La suma de estas fuerzas es igual a cero.

        Si se desplaza el conjunto una distancia x hacia abajo, aumentará la fuerza de empuje hacia arriba y la fuerza neta será igual a la fuerza de empuje, luego:

Fneta = 49 x

        Esta fuerza está orientada hacia arriba, luego la componente x de la fuerza neta es:

                                                                                                                    Fneta x=-49x

b)      La masa total del cilindro y esfera es m=0,030+0,070=0,100 kg . Aplicando la Segunda Ley de Newton, se tiene:

                                                                                                       Fneta x= m·a;       -49·x=0,100·a   ; a= -490·x

5.    Una pequeña esfera de masa m está ensartada en una guía circular vertical de radio R=0,20 m que no le ofrece rozamiento. La gravedad es g=9,8 m/s2. Se desplaza la esfera una pequeña distancia “s” respecto de la posición de equilibrio, siendo s£0,3R;  y se deja libre. a) Calcula la expresión de la fuerza neta que actúa sobre la esfera en función de s. b) Se desplaza la esfera una distancia s=4,0 cm respecto de la posición de equilibrio y se deja oscilar. Determina la ecuación de movimiento de la esfera.

Solución

a)       En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre la partícula en movimiento: mg y N. La componente del peso en la dirección tangencial del movimiento produce una aceleración tangencial.  

Considerando la coordenada s de la partícula, tomando origen en el punto más bajo de la guía y sentido positivo hacia la derecha, la fuerza tangencial tiene componente negativa, va en el sentido opuesto al crecimiento de s. La expresión de la componente de la fuerza tangencial es:

6.      Se cuelga una masa de 50 g del extremo de un muelle vertical de constante recuperadora k=20 N/m. La gravedad es g=10 m/s2. Se deja oscilar libremente la masa. a) ¿A qué distancia del punto inicial de suspensión está el punto de equilibrio de la masa? ¿Cuál será la amplitud y el periodo de las oscilaciones? b) Considerando un eje Ox vertical hacia arriba con su origen en el punto de equilibrio, escriba las ecuaciones de la posición y de la velocidad en función del tiempo. Represente las gráficas de ambas funciones.

Solución

a)       En equilibrio kx-mg=0; luego

                                                                                     x=mg/k=0,050·10/20=0,025 m.

El punto de equilibro está a 0,025 m del punto de suspensión y por debajo del mismo. La masa comenzará a realizar un movimiento armónico simple cuya amplitud será A=0,025 m, dado que cuando vuelva la partícula recuperará en el punto de suspensión inicial toda su energía potencial, no pudiendo ascender más puesto que carece de energía.

La frecuencia angular de las oscilaciones es:

7.     a)    Escribe la expresión de la elongación en función del tiempo del oscilador armónico. A partir de ella representa la evolución temporal de la velocidad y la aceleración de dicho oscilador.

        b)    Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escribe la ecuación de dicho movimiento, en unidades del S.I., en las siguientes condiciones: La aceleración máxima es 2p2 cm/s2; el periodo T=4 s; y, al iniciarse el movimiento, la elongación era 4 cm y el cuerpo se alejaba de la posición de equilibrio.

1.    La partícula de masa m=10 g de la figura 1.a describe el movimiento armónico simple en torno a su posición de equilibrio representado en la figura 1.b (rozamiento despreciable).  

a) Escribe la expresión de la elongación en función del tiempo, indicando el significado y valor numérico de cada parámetro.

b) Representa la evolución temporal de la energía potencial elástica y la energía total de la partícula.

Solución

a)    En la figura 1.b se puede estimar que A=8 cm  y que el periodo es la diferencia entre los instantes consecutivos en los que la partícula se encuentra en el mismo estado (igual posición e igual velocidad). T=3-1=2 s. Además en t=0 s, x=4 cm y v>0. Si tomamos como ecuación de movimiento