Efecto Doppler
El efecto Doppler consiste en la variación de la frecuencia o de la longitud de onda de una onda cuando el emisor y el receptor de la onda o uno de los dos se mueve respecto del otro.
En el caso de las ondas electromagnéticas la velocidad de propagación no depende del estado de movimiento del emisor o del receptor.
Cuando se está junto a una calzada por la que circula un vehículo que emite un sonido de una cierta frecuencia, se observa que el sonido es más agudo cuando el vehículo se acerca que cuando se aleja. ¿Qué relación hay entre las frecuencias de la onda emitida y de la onda registrada para las ondas sonoras?
En la imagen se muestra un foco E emisor de ondas sonoras de frecuencia fE que se mueve con velocidad vE hacia la derecha. La velocidad de las ondas sonoras es c. Al cabo de un tiempo t el frente de ondas emitido por E en el instante t=0 llega a dos receptores R y R’ situados delante y de tras de E, respectivamente.
Frecuencia registrada por el receptor R situado a la derecha de E
Delante del emisor las ondas se comprimen, siendo menor la longitud de onda recibida en R, λR, que la emitida, λE.
En el instante t la distancia entre E y R es:
(c-vE)t
En el instante t esta distancia será igual a un número n de longitudes de onda λR registradas por R.
(c-vE)t=nλR
Por otra parte la distancia avanzada por la onda emitida en t=0 por E será igual al mismo número n de longitudes de onda que registraría un observador en reposo respecto de E
ct=nλE
Dado que c=λEfE y c=λRfR , se tiene
(c-vE)t=nc/fR ; ct=nc/fE
Dividiendo miembro a miembro y despejando fR
fR=fE·c/(c-vE)
Frecuencia registrada por el receptor R’ situado a la izquierda de E
En el instante t la distancia entre E y R’ es:
(c+vE)t
En el instante t esta distancia será igual a un número n de longitudes de onda λR’ registradas por R’.
(c+vE)t=nλR’
Además ct=nλE y (c-vE)t=nc/fR ; ct=nc/fE
Luego fR=fE·c/(c+vE)
Frecuencia registrada por el receptor R situado a la derecha de E y con velocidad vR
Las velocidades del sonido y del emisor E respecto de R son c-vR y vE-vR.
En el sistema de referencia en reposo respecto de R y en el instante t, la distancia entre el frente de ondas emitido por E en t=o y recibido por R en el instante t y la distancia avanzada por E respecto de R es:
(c-vR)t-(vE-vR)t=(c-vE)t
Esta distancia será igual a un número n de longitudes de onda registradas por R
(c-vR)t-(vE-vR)t=(c-vE)t=nλR
Por otra si R no se hubiera desplazado hacia la derecha se cumpliría que ct=nλE, pero como R se ha desplazado hacia la derecha una distancia vRt en un tiempo t, se cumplirá que
(c-vR)t=nλE
Teniendo en cuenta que c=λRfR y c=λEfE , se tiene
fR=fE(c-vR)/(c-vE)
Frecuencia registrada por el receptor R’ situado a la izquierda de E y con velocidad vR
En el instante t la distancia entre E y R’ es:
(c+vE)t
En el instante t esta distancia será igual a un número n de longitudes de onda λR’ registradas por R’.
(c+vE)t=nλR’
Por otra si R’ no se hubiera desplazado hacia la derecha se cumpliría que ct=nλE, pero como R’ se ha desplazado hacia la derecha una distancia vRt en un tiempo t, la velocidad del sonido respecto de R es ahora (-c)-vR=-(c+vR). En valor absoluto c+vR, luego
(c+vR)t=nλE
Teniendo en cuenta que c=λRfR y c=λEfE , se tiene
fR’=fE(c+vR)/(c+vE)
Frecuencia registrada por un receptor R’’ en reposo no situado en la recta de movimiento del emisor E
Procedimiento 1
Si la recta de movimiento del emisor E forma un ángulo θ con la recta ER’’ en el instante en que E emite el sonido, la componente de la velocidad del emisor en esta dirección es vEcos θ. Para determinar la frecuencia fR’’ habrá que sustituir vE por vEcos θ y fR por fR’’ en la expresión fR=fEc/(c-vE)
fR’’=fEc/(c-vEcos θ)
Se puede comprobar que si θ=π (rad), la expresión anterior conduce a la Frecuencia registrada por el receptor R’ situado a la izquierda de E.
Procedimiento 2
En la imagen adjunta se puede observar el emisor E en el instante t=0, el emisor En en el instante nτ y el receptor R. El frente de ondas Wo es el emitido por la fuente E en el instante t cuando llega a R, luego ro=ct, y el frente de ondas Wn es el emitido por En en el instante t.
Al receptor R le llega n frentes de ondas con la velocidad c y con un periodo τ’ observado por R, luego:
A’R=cnτ’
Por otra parte el tiempo de viaje de la onda emitida por En hasta el punto A’ es t-nτ, luego:
r1-A’R=c(t-nτ)
A’R=r1-ct+cnτ=r1-ro+cnτ
Además, suponiendo que R está lo suficientemente alejado de E y En,
EB≈ro-r1=vE nτ cosθ
Por lo tanto A’R=-vE nτ cos θ +cnτ
Relacionando los segundos miembros de la primera y última ecuación, se tiene:
cnτ’=cnτ-vE nτ cos θ
Siendo los periodos inversos a las frecuencias, se puede escribir:
c/f’=[1/f] (c-vE cos θ)
f’=f ·[c/(c-vE cos θ)]
Frecuencia registrada por un receptor R situado a la derecha de E o por un receptor R’ situado a la izquierda de E, que se mueven con velocidad vR, si la velocidad del viento es vv en la misma dirección y sentido que vE
En este caso si R está a la derecha de E
vsonido-R=vsonido-aire+vaire-R=c+vv
Habrá que sustituir c por c+vv en la expresión
fR=fE(c-vR)/(c-vE),
luego fR=fE(c+vv-vR)/(c+vv-vE)
Si R’ está a la izquierda de E
vsonido-R’=vsonido-aire+vaire-R=-c+vv
El valor absoluto de la velocidad del sonido respecto de R’ es
Іvsonido-R’І=c-vv
Habrá que sustituir c por c-v en la expresión fR’=fE(c+vR)/(c+vE), luego
fR’=fE(c-vv+vR)/(c-vv+vE)
Problemas
1. Un coche de policía circula por una vía urbana con velocidad de 25 m/s emitiendo un sonido de frecuencia fo=2000 Hz. Una persona está situada en la acera junto a la vía urbana cuando el coche de policía se acerca. ¿Qué cambio de frecuencia observará la persona del sonido emitido por la policía desde que el coche se está acercando hasta cuando se esté alejando?
Solución
Antes de que el coche de policía pase junto al peatón, la frecuencia percibida por éste será:
Después de que el coche de policía pase junto al peatón, la frecuencia percibida por éste será:
La variación de la frecuencia observada es
f’2-f’1=1862-2158=-296 Hz
El sonido de la policía ha reducido su frecuencia para el observador, se ha hecho más grave.
2. Un vehículo de policía E tiene una velocidad v=10,0 m/s y emite un sonido de frecuencia fE = 1,00·103 Hz y se mueve hacia una pared que refleja dicho sonido. Un observador R está detrás del vehículo de la policía. La velocidad del sonido es c=340 m/s. Hallar la frecuencia que recibe R directamente del vehículo y la frecuencia de la onda reflejada en la pared P.
Solución
La relación entre la frecuencia de un sonido fo producido por un emisor E en movimiento con velocidad vE y la frecuencia fR recibida por un observador R, que se mueve con velocidad vR y que está detrás del emisor E, como se observa en la figura es:
En este caso R está en reposo, luego vR=0 y
La pared refleja el sonido con la misma frecuencia con la que la recibe. Ahora la pared es el “receptor”, y como está delante del emisor la ecuación entre las frecuencias es:
En este caso el receptor R’=P también está en reposo, vR’=0 , luego
Dado que el observador R está en reposo, percibirá una frecuencia f=1,03·103 Hz
3. Un emisor E de ultrasonidos emite ondas de frecuencia fo=55,0 kHz y se mueve con velocidad vE=15,0 m/s hacia la derecha hacia un objeto receptor R que se mueve en el mismo sentido con velocidad vR=3,00 m/s. a) ¿Qué frecuencia de las ondas percibirá R? b) R refleja las ondas recibidas por E, convirtiéndose ahora en emisor E’, y son registradas por E, que se convierte en el receptor R’. ¿Qué frecuencia detectará R’ de las ondas reflejadas?
Solución
a) Dado que R está delante de E, la relación entre la frecuencia fo de las ondas emitidas por E y la frecuencia de las ondas registradas por R es:
b) El receptor R emite hacia la izquierda con la misma frecuencia que la que recibe, fR=57,0·103 Hz. Ahora el nuevo emisor E’ es R y emite con frecuencia f’o=fR=57,0·103 Hz hacia la izquierda. El nuevo receptor R’ es el emisor inicial, E. Luego vE’=3,00 m/s y vR’=15,0 m/s. El nuevo receptor está a la izquierda del nuevo emisor y ambos se mueven hacia la derecha. La relación entre las frecuencias es:
4. Un foco sonoro fijo emite sonido de una frecuencia. Al foco se le aproxima una pantalla con una velocidad vP=3,4 m/s. La velocidad de propagación del sonido en el medio es c=340 m/s. ¿En qué tanto por ciento varía la longitud de la onda reflejada por la pared?
Solución
Si la distancia de E a la pared es x, la velocidad de la pared es dx/dt. El sonido reflejado por la pared equivale al sonido emitido por un foco virtual E’ situado a una distancia x a la derecha de la pared, luego a una distancia 2x de E. La velocidad del foco virtual será:
vE’=2·v=2·3,4=6,8 m/s
La frecuencia de la onda reflejada por la pared es igual a la frecuencia de la onda incidente fo
Dado que el receptor R está a la izquierda de la pared y en reposo, la relación entre la frecuencia registrada por R, fR, y fo es:
El tanto por ciento de variación de la longitud de onda es 0,02·100=2,0%
5. Un foco sonoro E de frecuencia fo=1,70·103 Hz y un receptor R se encuentran en el mismo punto. En el instante t=0 el foco sonoro comienza a separarse del receptor con una aceleración constante a=10,0 m/s2. La velocidad del sonido es c=340 m/s. Halla la frecuencia del sonido al cabo de t=10,0 s de iniciarse el movimiento del foco sonoro.
Solución
Si se recibe cierta frecuencia al cabo de un tiempo t=10,0 s; la suma del tiempo t1 de avance del foco y del tiempo t2 de propagación del sonido emitido en el instante t1 , será igual a 10,0 s
t1+t2=t
Las distancias recorridas por el foco sonoro y por el sonido, serán iguales
Dado que el foco sonoro se aleja del receptor y éste se encuentra en reposo, la relación entre la frecuencia fR registrada por el receptor y la producida por el emisor, fo, es:
6. Un emisor acústico E de frecuencia fo=2000 Hz y un receptor R en reposo se encuentran en el eje x. El emisor E realiza oscilaciones armónicas en el eje x de amplitud A=0,50 m con una frecuencia angular ω. ¿Para qué valor de w el intervalo de frecuencias sonoras percibidas por R será Δf=200 Hz? La velocidad del sonido es c=340 m/s.
Solución
Supongamos que R está a la izquierda de E permanentemente. En cierto instante la velocidad de E será máxima hacia la derecha y su valor es vE1=ωA. La relación entre la frecuencia fo emitida por E y la registrada, fR, por R es:
En otro instante la velocidad de E será máxima hacia la izquierda y su módulo será vE2=ωA. La relación entre la frecuencia fo emitida por E y la registrada, fR, por R es:
7. Un foco sonoro E, cuya frecuencia propia es fo=1,8 kHz, se mueve uniformemente en una línea recta que dista l=250 m de un observador R inmóvil. El cociente entre la velocidad del foco y la velocidad del sonido es h=0,800. Calcular:
a) La frecuencia del sonido percibida por R en el instante en el que se encuentra frente a frente con el foco sonoro.
b) La distancia entre el foco sonoro y el observador cuando este perciba una frecuencia fo.
Solución
a) El sonido que llega a R cuando E está en la posición 2, ha sido emitido por E en la posición 1. En el tiempo que E se mueve de 1 a 2, el sonido emitido por E en 1 le llega a R,
luego
En este caso en el que R está a la derecha de E y la componente de la velocidad de E en la dirección ER es vEcos θ. La relación entre la frecuencia fo emitida por E y la frecuencia fR recibida por R es
b) Si el sonido que le llega a R tiene frecuencia fo, la componente de la velocidad de E en la dirección ER ha de ser nula, luego E habrá emitido en la posición 2. Pero mientras el sonido se propaga de 2 a R, E se mueve hacia la derecha.
El tiempo t que tarda el sonido en recorrer la distancia l es t=l/c, en ese tiempo E habrá avanzado una distancia vEt=vEl/c=ηl.
La distancia entre E y R en ese instante es:
8. La línea espectral λ=0,59 μm de la luz emitida en los bordes del disco solar en el ecuador, tiene una diferencia en las longitudes de onda Δλ=8,0 pm. El radio del Sol es R=6,96·108 m. Determinar el periodo de rotación del Sol alrededor de su propio eje.
Solución
Supondremos que la velocidad lineal de los puntos del ecuador solar es mucho menor que la velocidad de la luz, por lo que f1 =foc/(c-v) será la frecuencia observada en la Tierra de la luz emitida por un punto del ecuador solar que se mueve hacia la Tierra y f1 =foc/(c+v) será la frecuencia observada en la Tierra emitida por un punto del ecuador que se aleja de la Tierra.
Para las longitudes de onda, las relaciones serían.
9. Una de las líneas espectrales emitidas por los iones He+ excitados, tiene longitud de onda λ=410 nm en el sistema de referencia en el que la fuente E está en reposo. Un haz de iones de He+, cada uno en energía cinética T=10 MeV, es observado por un receptor R que está en una dirección θ=30º respecto de la dirección de movimiento de los iones. Hallar el desplazamiento de la longitud de onda observada por el receptor R.
Mat(He+)≈4,0·931 MeV=3.724 MeV
Solución
La relación entre la frecuencia de las ondas emitidas por los iones de He+ en el sistema de referencia en el que están en reposo, f0, y la frecuencia observada f en la dirección θ es:
10. Un vehículo E emite un sonido con una frecuencia fE=1,00·103Hz, tiene una velocidad vE=30 m/s y se mueve sobre el eje x. Un receptor R está situado en el eje y a una distancia de 100 m del eje x. La velocidad del sonido es c=340 m/s. a) Determinar la frecuencia del sonido que registrará R en función de la coordenada x. b) Representar la gráfica fR-x desde x1=-1000 m hasta x2=1000 m. c) Hallar las frecuencias límites que registrará R.
Solución
a) La frecuencia de las ondas recibidas por R es:
fR=fE·c/(c-vEcos θ)
En la figura la coordenada x del emisor E es negativa y el coseno de θ es positivo, luego
b) La gráfica fR-x es la siguiente:
c) Para x1=-1000 m
La expresión numérica final es la misma que la que se tendría si R estuviera en el eje x.
Para x2=+1000 m
